級数の絶対収束か条件収束の調べ方って?

質問

先生方宜しくお願い致します。

[問題]次の無限級数が絶対収束か条件収束かを調べよ。
(1) Σ[k=3..∞](-1)^k/(ln(ln(k))√k)
(2) Σ[k=2..∞](-1)^k/(k(ln(k))^p),p>0
という問題が解けません。
どのようして判定すればいいのでしょうか?
なにとぞご教示ください　m(＿ ＿)m

回答No.2

noname#50894 · ベストアンサー

No.1の訂正です。

上から９行目
>から、Σ[k=3..∞]a_k>Σ[k=3..∞]a_k[1/{ln(k)k}]→∞［∵(※)］
－訂正→
#から、Σ[k=3..∞]a_k>Σ[k=3..∞][1/{ln(k)k}]→∞［∵(※)］

下から３行目
>即ち、 Σ[k=2..∞]b_kは、p>1のとき絶対収束し、p≦1のとき条件収束する。
－訂正→
#即ち、 Σ[k=2..∞]{(-1)^k}b_kは、p>1のとき絶対収束し、p≦1のとき条件収束する。

お礼

> 以下の命題は宜しいですか。
> * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
> x(k)=1/{k*log(k)^p}[但しk≧2　かつ　pは実数]とおくと、
> Σ[k=2,∞]x(k)はp>1のとき収束し、p≦1のとき発散する。…(※)
> * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

わぉ。知りませんでした。こんな命題。

> (1)a_k=1/(ln(ln(k))√k)→0（k→∞）かつa_1>a_2>…>a_k>…(>0)
> よって、Σ[k=3..∞](-1)^ka_kは収束する。

絶対収束するから元の数列も収束するという訳ですね、。
"交項級数Σ[k=1..∞](-1)^ka(k) (a(k)≧0 (k∈N))は収束⇔(i) a(1)≧a(2)≧… 且つ (ii) lim[k→∞]a(k)=0"
を使えばΣ[k=3..∞]1/(ln(ln(k))√k)は収束が言えるのですね。

> (2)b_k=/{k(ln(k))^p}→0（k→∞）［∵p>0］かつb_1>b_2>…>b_k>…(>0)
> よって、Σ[k=2..∞](-1)^kb_kは収束する。

OKです。

> 冒頭の命題は、解析概論にも載っていますが。

探してみます。

> －訂正→
> #から、Σ[k=3..∞]a_k>Σ[k=3..∞][1/{ln(k)k}]→∞［∵(※)］

OKです。

> －訂正→
> #即ち、 Σ[k=2..∞]{(-1)^k}b_kは、p>1のとき絶対収束し、p≦1のとき条件収束す
> る。

Σ[k=2..∞]|(-1)^kb(k)|はp>1の時,p≦1の時,発散するのですね。

回答No.1

noname#50894

以下の命題は宜しいですか。
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
x(k)=1/{k*log(k)^p}[但しk≧2　かつ　pは実数]とおくと、
Σ[k=2,∞]x(k)はp>1のとき収束し、p≦1のとき発散する。…(※)
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

(1)a_k=1/(ln(ln(k))√k)→0（k→∞）かつa_1>a_2>…>a_k>…(>0)
よって、Σ[k=3..∞](-1)^ka_kは収束する。

一方、a_k=1/(ln(ln(k))√k)>1/(ln(k)k)
から、Σ[k=3..∞]a_k>Σ[k=3..∞]a_k[1/{ln(k)k}]→∞［∵(※)］
即ち、 Σ[k=3..∞](-1)^ka_kは条件収束

(2)b_k=/{k(ln(k))^p}→0（k→∞）［∵p>0］かつb_1>b_2>…>b_k>…(>0)
よって、Σ[k=2..∞](-1)^kb_kは収束する。

一方、 Σ[k=2..∞]b_kは、p>1のとき収束し、p≦1のとき発散する。［∵(※)］
即ち、 Σ[k=2..∞]b_kは、p>1のとき絶対収束し、p≦1のとき条件収束する。
＝＝以上＝＝

冒頭の命題は、解析概論にも載っていますが。