無限級数 Σ( i=1→∞, i*p*(1-p)^(i-1) ) の和

質問

情報理論でバースト誤り通信路(ギルバートモデル)の平均バースト長を求めるのに、
Σ( i=1→∞, i*p*(1-p)^(i-1) )
という無限級数が1/pに収束することを使うのですが、
このような無限級数の和を求める公式が思い当たりません。
どうして1/pに収束すると分かるのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

よくある問題です。

Sn=1*p*(1-p)^0+2*p*(-p)^1+3*p*(1-p)^2+・・・+n*p*(1-p)^(n-1)
とおきます。
これを求めるには、Snに(1-p)をかけたものを考えます。
(1-p)Sn= 1*p*(1-p)^1+2*p*(-p)^1+・・・+(n-1)*p*(1-p)^(n-1)+n*p*(1-p)^n
Sn=1*p*(1-p)^0+2*p*(-p)^1+3*p*(1-p)^2+・・・+n*p*(1-p)^(n-1)
後は、上の式から下の式を引き算すると
-p*Sn=-1*p*(1-p)^0-1*p*(1-p)^1-1*p*(1-p)^2-・・・-1*p*(1-p)^(n-1)+n*p*(1-p)^n

最後の項を除いたものは初項p,公比(1-p),項数nの等比数列の和ですから後は簡単ですね。
もちろん、0<p<1だとは思いますので、この級数の収束は簡単に求められます。

お礼

>よくある問題です。
勉強不足でお恥ずかしいです。

丁寧に教えていただきありがとうございました。