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級数が絶対収束したら収束?

解析入門30講という本を読みました。 級数の収束のところで、 (1) X = X0で Σ Ak X^k が収束   → |X|<|X0| なる x で Σ Ak X^k が絶対収束 と書いてありました。 しかし、そのすぐ後に、 (2) 「収束しても、絶対収束しない関数がある」 と書いてありました。 (1)と(2)は矛盾しているような気がするのですが、どうでしょうか?

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  • kabaokaba
  • ベストアンサー率51% (724/1416)
回答No.3

(2)は「関数」ではなく「級数」でしょ? #志賀さんの「30講シリーズ」かな まず,級数の収束には ・絶対収束 ・条件収束 というものがあります 「Σ a_k が絶対収束する」というのは Σ |a_k| が収束することをいいます. 級数が絶対収束するならば収束します. しかし,逆,つまり 「級数が収束するならば絶対収束する」というのは成り立ちません. 「収束するが絶対収束しない」ことを「条件収束」といいます. そして,(1)は 級数のうち 「べき級数」と呼ばれる特別(かつ重要)なものに ついては,ある点で収束すれば, 「その内側では絶対収束する」といっているだけです 決して「すべての級数」ではありません. したがって,(2)の実例は「ベキ級数」ではありません. 当然矛盾はしません. ちなみに,絶対収束する級数は 「項の順序を変えても収束する値は同じ」 という重要な性質があります.これを用いて 「級数の積」などを簡単に考えることができます. 条件収束の場合は,順番を変えるのはご法度です.

white-tiger
質問者

お礼

なるほど! よく分かりました。 ありがとうございます。

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その他の回答 (2)

  • zk43
  • ベストアンサー率53% (253/470)
回答No.2

べき級数の場合は収束半径内のxにおいては、収束すれば絶対収束 します。 しかし、他に、たとえば、 Σ(-1)^(n-1)・sin(x/n)(ここに、x>0) のような級数を考えると、どんなxに対してもnを十分大きくとれば、 sin(x/n)は単調減少して0に収束し、この級数はnが十分大きいとこ ろでは、いわゆるライプニッツの交項級数となって収束します。 しかし、絶対値を取った級数 Σ|sin(x/n)| は収束しません。 (∵sin(x/n)~x/n(n→∞)で、調和級数は発散する)

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  • koko_u
  • ベストアンサー率12% (14/116)
回答No.1

関数が「絶対収束」するとは言わないので、white-tiger氏が何か勘違いしているのだろう。

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