(-1)^(-i)=e^π だそうですが・・・

質問

－１は何乗してもー１か1にしかならないのではないと思いますが何と右辺のような数になるということが驚きです。この式は虚数単位の定義にもなっているのでしょうか。又この式の中には1も潜んでいるのでしょうか。

回答No.3

karaimo45 · ベストアンサー

いくら眺めても見当のつかない(-1)^(-i)は、e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)（オイラーの公式）の手助けを借りてe^πにたどり着くといったほうがいいのかもしれません。

さらにe^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)、e^(-iθ)=cos(θ)-isin(θ)の2式を使い
cos(θ)=[e^(iθ)+e^(-iθ)]/2、sin(θ)=[e^(iθ)-e^(-iθ)]/2i
と、おなじみの三角関数がeだけの式になり、一見無関係そうな三角関数と指数関数がオイラーの公式の手助けで繋がります。オイラーの公式は仲人のプロです。

その式だけでは全く見当のつかないlog(i)、cos(i)なんかもオイラーの公式に助けてもらうと、
log(i)=log[cos(π/2)+isin(π/2)]=log(e^(πi/2))=πi/2
cos(i)=[e^(i*i)+e^(-i*i)]/2=[e^(-1)+e]/2
（いずれも0<θ<2πのとき）と求められます。

お礼

ご教示ありがとうございます。ちょっと幾何学の補助線のような感じがすることもあって、仰せのとおり各公式への道筋をたどることを繰り返したいと思いました。

回答No.4

springside

何を疑問に思ってらっしゃるのか理解できません。
ただ単に、
　e^(iθ)=cos(θ)+isin(θ)
によって示される式、というだけのことで、ごく当然のことです。

もちろん、
>>－１は何乗してもー１か1にしかならない
というのは事実ではないし、
>>この式は虚数単位の定義
にはなっていないし、
>>この式の中には1も潜んで
いません。

お礼

どうも私の理解力が想像を絶して低いための愚問だったのでしょうか。ご迷惑をかけたようでお詫び申し上げます。

回答No.2

otu_otu

虚数単位の定義は、二乗して-1になるものをiとするでしたね。

ところで、
(-1)^(-i)=e^π
は通常は何の定義にもなりません。定義というものは、もっとすっきりしたものです。

通常、虚数を扱うときは、
e^(iθ)=cos(θ)+i・sin(θ)　－－－　(＊)
を定義(公理)します。

ここで、θ=πとすれば、
e^(iπ)=-1
ですね。

したがって、
(-1)^(-i)
={e^(iπ)}^(-i)
=e^{iπ*(-i)}
=e^π
ゆえに、(-1)^(-i)=e^πと導かれるわけです。

> この式の中にも１が潜んでいるのでしょうか。。
これは、
e^(2πi)=1
の式のことをおっしゃっているのでしょうか？
この式は、e, 2π, i, 1と数学上の重要な値が綺麗につながった式として有名ですよね。
しかし、これも(＊)の公理から導くことができます。
θ=2πとすれば導けます。

もっとも重要なのは、(＊)の公理です。素晴らしく抽象化されているこの公理は、自然科学の真髄ですね。

お礼

ご教示ありがとうございます。e^πはわかるので、かえって左辺が不思議なもののように感じられるのですが、案外分かっていないのは右辺の意味なのかもしれないと思いました。

回答No.1

pascal3141

両辺をi乗してみてください。((-1)^-i)^i=(e^π)^iより、-1=e^iπとなり、よく知られている、「オイラーの公式」に成ります。

お礼

ご教示ありがとうございます。乗というのもiが分からないと分からないのでどこが始まりなのか分かりません。