数学、虚数の大きさは？

質問

√（-1）＝ｉ
虚数には大きさの概念がないと聞きました。

それはどういうことなんでしょう？

定義されていない。
定義できるが意味がない。
そもそも定義すらできない。
どれなんでしょう？？？

その理由も含めて解説していただきたいです。

回答No.5

ta20000005 · ベストアンサー

前の方々が書いている通りなんですが、補足します。
複素数も含めてどんな集合でも必ず大小は定義できます。その意味で、どんな都合の悪い大小でも良ければ、複素数にも大小は定義できます。
しかし、ある程度便利できれいな性質をもつ大小を複素数に定めようとしてもそれはできないことが知られています。その性質とは、実数なら成り立っている以下のふたつです。
a<bならばa+c<b+c
a<bで0<cならばac<bc
これが成り立たないと移項とかで不等式を解いたりできませんから、かなり不便です。
このような大小が定義できないことを示してみます。
仮にこの性質を満たす大小が複素数にも定義できたとします。iは0ではないので、0<iかi<0のどちらかです。
0<iとすると、両辺に0より大きいiを掛けて
i*0<ii
よって0<-1となりますから、これはありえません。
するとi<0になりますから、両辺に-iを加えて
0<-i
となります。この両辺に0より大きい-iを掛けて、
-i*0<(-i)(-i)
よって0<-1となりますから、やはりこれもありえませんから矛盾します。よって、このような都合の良い大小は定義不可能であることがわかりました。
なお、先の方も書いているようにある意味数の大きさにあたる絶対値|z|は複素数でも定義できて、それは実数になるため、絶対値同士の大小比較は可能です。ただし、絶対値が等しくても複素数としては等しくならない場合は実数同様にありますが。
絶対値では特に
|a||b|=|ab|
が成り立ちます。この性質は実数でも成り立っていますが、実は数を複素数からさらに拡張する場合には、この性質も成り立つ拡張は四元数と八元数と呼ばれるものしかないことが知られています。

お礼

回答ありがとうございます。

虚数はそのまんま虚数なので、実数の世界の常識が通用するとは思っていません。だから実数の感覚で大きさを決めようとしてもうまく行かないのだということは、解説からわかるつもりです。
ただ、虚数には虚数なりの大きさの定義の仕方や、何らかの基準のようなものが存在するのではないのか？という疑問が残るのです。
単にわたしのレベルでは理解できないことだから、というのならそれでも良いのですが、その辺に曖昧さを感じているのです。

四元数・八元数はまたあとで調べてみたいと思います。
詳細な説明大変感謝いたしております。

補足

四元数はｗｅｂで調べてみました。
＞ 四元数とは次のような数です．
, , は次のような演算規則を満たす虚数の「ような」数です．しかし， , , の間には交換則が成り立っていないことに注意して下さい．

『ような』というのが説明になっていないよう思いました。
今後の課題にしたいと思います。

回答No.10

Mokuzo100nenn

＞上の喩で、大阪と名古屋なら、その面積で比較したら『大きさ』は決められると思いますが、それが二次元ということだと思いますが、違うのですか？

大阪や名古屋の面積はスカラー量です。
大阪や名古屋の位置をベクトルに例えたのですが、難しかったですか？

お礼

ありがとうございます。
二次元というのは、Ｘ－Ｙ座標のような平面の位置だと認識してますが、
スカラーとベクトルの違いが１次元と２次元の違いなのか？

回答No.9

kabaokaba

>(2)虚数はこうすれば便利だとか、より一般的に数を表現できるように、考えられた、実際には存在しない数である。

ダウト．
虚数，正確には複素数，は実在する．
少なくとも「座標平面が存在する」を認めるのであれば複素数は存在する
少なくとも「多項式の割り算の余り」を認めるのあれば複素数は存在する

>そして、今現在残る疑問点は、
>(1)虚数の大きさは定義できる、と言いながらその定義が解らないこと。
>(2)大きさという言葉自体の数学的な意味がより解らなくなったとこ。

「虚数の大きさ」というのは一般には「絶対値」のことであり
a+biに対して (a^2+b^2)^{1/2}のこと
決して「定義が解らない」なんてことはないし，回答の中にも明記されています

疑問(2)に関しては，質問者が「大きさ」と「大小関係」を混同しているから．

数学では「大きさがある」ことと「大小関係」があるというのは
無関係とはいわないですが，同じではないです
くわえて「大小関係」（数学の言葉では「順序」という）にも種類があり
質問者が考えているのは順序の中でも一番性質のよい
「整列」という類のものであると思われます．

数学ではある集合に「順序」があったとしても
その集合の元の任意の組合せに順序がつけられるとは限りません．
例えば，複素数の中に「大きさ」で順序をいれたとしても
1とiは両方とも「大きさ1」なので大小関係は存在しません．

加えて，複素数は実数を含んでいるので
実数の順序を保つように複素数に順序を入れたいですが
それはできないことは回答で証明されているとおりです．

ですので
「複素数に大きさの概念はない」
というのは誤り．
ただし，「大きさの概念」というのが
ひじょうに素朴な意味で使われており
「大きさの概念がない」＝「大小関係を定義できない」というのであれば
留保条件つきで正しい．その際の留保条件は
「実数の大小関係をそのまま含むような大小関係を考える」ということです

さらにいうと・・・
どんな大小関係でもかまわないというのあれば
「任意の集合には整列順序が存在する」
という大定理が存在するので
実は複素数には「いい順序」があることはあるのです
ただし・・・具体的に1とiのどっちが「大きい」とかを計算できるわけではなくって
「ある」ということだけがわかるという・・ある意味無意味なものですが

お礼

ありがとうございます。
ANo.2の方の回答に書いてあるこては間違いってことですか？

＞ 「大きさ」と「大小関係」を混同しているから・・・以降の説明
よく解りません・・・
もっと学習が進んでからまた考えてみたいと思います。

回答No.8

Tacosan

例えば 2つの複素数 a+bi, c+di に対して
・a≠c ならa と c の大きい方が大きい
・a=c のとき b≠d なら b と d の大きい方が大きい
・a=c かつ b=d なら同じ
とすれば定義はできるっしょ?

お礼

ありがとうございます。
もともとの質問は、上の例でｂｉとｄｉの大きさなので、
ａ＝ｃ＝０でｂとｄの大きさで定義すれば良いのですね。

回答No.7

zeta0208

単に原点からの距離でで大小を決めると定義すると
-1 , 1 , i , -i は大小はなしということになります。実際　絶対値は等しいですが。

複素数というのは実数も含んでいますので大小と言った場合は実数の範囲でも成り立たなくてはいけません。
実数の -1 < 0 < 1 が成り立ち　かつ　i , -i の大小も成り立たせるのは体系的に無理ということです。
証明はANo.5さんのとおり。すばらしい！！

私見ですが、複素数というのは　何かわからないが、そこ（複素平面上）には存在している数で虚部が0の時だけ（つまり条件付きで）大小が存在するとイメージしています。

お礼

回答ありがとうございます。
沢山の回答よ私の理解も少し進歩した気がします。

今後は具体的にどんな勉強をしたらその辺が良く理解できるようになりますか？

数学ってたとえば、小学校で分数を習った時には完全に理解できなかったことが中学や高校で数学を学ぶと、深く理解できたりします。
ですから、今の私には理解不能でも、あきらめずに勉強していたら、いつかは『そうか、そうだったのかぁ～』みたいに理解できる日が来ますか？

これで一応この質問は終えたいと思います。
お付き合いいただきました回答者様、どうもありがとうございました。
再度質問の折りにはまた宜しくお願いいたします。

補足

皆さんの回答を何度も読み返し、補足したり総合したりしております。
実数と虚数を組み合わせた複素数というものも、XY座標の２次元でイメージできることにも気が付きました。
その虚数軸には大きさの概念がなさそうだという説明も何となくは理解できる気がしてきました。
しかし、まだまだ疑問点だらけです。

現時点で私の認識を書いてみますので、変なところや不足しているところを補完していただけると嬉しいです。
あくまでイメージでの話なので、具体性や正確性がないかもしれません。

(1)虚数は２次以上の方程式の解を拡張するために導入した、数であり、その性質は実数とは異なる。
(2)虚数はこうすれば便利だとか、より一般的に数を表現できるように、考えられた、実際には存在しない数である。
(3)虚数の大きさは実数の感覚（イメージ）では定義できず、また何らかの手段で定義できたとしても、それによって何かが効率的に解けたりとか、何かが便利になったりとか、物理に応用できたりとかするものではなく、要は利用価値がないものだから、多くの人（数学者たち？）はそうしてこなかった。
(4)実数と虚数を合わせた複素数という数を定義すると、いろいろな便利な性質があって、他の分野に応用できることが分かった。
(5)数学は数の範囲を拡張することで、実際に進歩してきたので、歴史的事実から見ても、その方向性は正しい。

そして、今現在残る疑問点は、
(1)虚数の大きさは定義できる、と言いながらその定義が解らないこと。
(2)大きさという言葉自体の数学的な意味がより解らなくなったとこ。
です。

回答No.6

Mokuzo100nenn

実数や整数など、一次元で考えられる数値に関しては大小の定義が簡単です。
しかし、複素数（虚数）は実部と虚部をもった二次元と考えると、大小の定義自体が難しくなりますね。

東京タワーよりもスカイツリーの方が高いというのは、簡単ですね。高さという一次元で比較するかです。

では、大阪という場所と、名古屋という場所は、どちらが「大きい」ですか？　
これには答えられないのですよ。

それは緯度と経度という二次元で場所を示しているからです。

お礼

二次元という解釈が正しいのかどうか解りませんが、普通にＸ-Ｙのグラフのイメージとは違う二次元なのでしょうか？
幼稚かもしれませんが、二次元ならば、原点からの距離で大きさが定義できると思うのですが、それは違うことなんですか？
そのあたりが聴きたい点でもあり、一番知りたい部分です。

上の喩で、大阪と名古屋なら、その面積で比較したら『大きさ』は決められると思いますが、それが二次元ということだと思いますが、違うのですか？

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

>虚数には大きさの概念がない

虚数の大小関係は定義されていませんが
絶対値は定義されています。

絶対値を「大きさ」とすれば、
大きさの概念はあることになります。

お礼

回答ありがとうございます。

そう、そこなんです。絶対値を大きさと定義したらそれで良いように思えるのですが、そうできない理由があるということなんしょう。
その理由がこの質問の主旨なんですが・・・

回答No.3

Tacosan

「実数に対する大小関係の持つ性質」を維持したまま虚数には適用できない, ということ.

定義するだけならできる.

お礼

回答ありがとうございます。

＞ 定義するだけならできる

その定義を知りたいのですが、どなたも回答してくれないのです。
もしかして現代の数学では未解決の分野なのでしょうか？

回答No.2

info22_

大小関係は実数における概念です。
なので虚数は現実には存在しない数ですので大小関係を定義しても意味がない。ということでしょう。なので定義されていません。

ここで、実数も正負の数があり、絶対値（実数の符号を取り除いた数）が定義されてるように、複素数（虚数）にも絶対値は定義されています。

「1+3i」と「2-i」との大小関係の比較はできない（しても意味がない）が、

絶対値（実数）の大小関係の比較なら可能です。
　|1+3i|=√10＞|2-i|=√5

お礼

回答ありがとうございます。

定義しても意味がないというのは、定義可能ということですよね。
その定義を知りたいです。
何らかの不合理や矛盾が生じるから定義しないということなら、それで一応納得は出来ます。

定義出来ないのなら、その理由が知りたいです。

絶対値の定義は、２次元のグラフをイメージして、原点との距離ということで、イメージは出来ました。
それをそのまま虚数の大きさとすることは出来ないのでしょうか？？？

回答No.1

naclav

「二乗するとマイナスになる」という概念でさえあれば充分だから。

「二乗すると大きなマイナスになる」という状況を作りたければ
虚数と「大きな実数」を掛け合わせればいいので。

お礼

回答ありがとうございます。
＞ 虚数と「大きな実数」を掛け合わせればいいので。
ということは、２ｉ＜３ｉということでしょうか？？