虚数とは結局なんですか？

質問

以前から疑問なのですが、虚数とは何なのでしょうか？
iであらわされ、二乗すると-1になるなどの事はわかるのですが、想像も付かない世界なので、実感がわきません。
理論上の物であることもわかりますが、もう少し、細かく知りたいのです。
曖昧な質問で申し訳ないのですが、虚数とは何か、教えて頂けると幸いです。

回答No.8

guuman · ベストアンサー

虚数の良い名称が見つかりました

実数を導入するとき
「無理数」が追加されました

複素数を導入するとき
「無実数」を追加することにすべきだったのです

命名を「虚数」でなく「無実数」ということにすればあなたの混乱は回避されたのかもしれません

「虚数」（さらに「無理」）よりも「無実」の方が良いイメージがあるからです

お礼

＞無実数
これは分かりやすい！
第１段階拡張数という言葉もわかりやすいなと思ったのですが、無実数と言われれば、非常にしっくり来ます。

虚数と言うロマンティックな名前から、いろいろと在らぬ事を想像していました。
無実数という言葉ならば、説明していただいたイメージと合います。

回答No.13

ruto

>虚数とは何なのでしょうか？
一つの考え方として、縦軸に虚軸、横軸に実軸をとり、
原点からa離れた横軸上の点Aとし、そこから上にｂ離れた点をBとし、原点oとすれば三角形OABが出来る。
OBの長さをｃとすればｃは
ｃ＝a＋biと表されます。すなわちbはａに比べて＋90度進んでいることを表します。
ｃにｉをかけるとその時のｃはｃ１とすれば
ｃ１＝－ｂ＋ａｉとなる。また同様にｉをかけると
ｃ２＝－ａ－ｂｉさらにｉを同様にかけると
ｃ３＝ｂ－ａｉ　さらにｉを同様にかけると
ｃ４＝ａ＋ｂｉ即ち元に戻る。
この意味はｉは実数に比べて９０度進んでいることを表し、ｉをかけるたびに９０度回転し、４回かけると、元に戻る。
|c|＝（ａ^2＋ｂ^2）^0.5
向きの異なるものを加えたり、かけたりするとき水平成分と垂直成分に分けて計算するとき虚数ｉは大変便利です。
　ｉは方向を表す物と理解してはどうですか。

お礼

”方向を表す物”
私も、皆さんが説明してくださったおかげで、朧気ながらもそのように捕らえ始めました。
確かに、iを使えば、水平成分と垂直成分に分けて考えやすくなります。

これで、ゆっくり眠れそうです。（笑）

補足

＃１～＃１３の皆さん、本当にありがとうございました。高校で勉強してから、ずっと魚の小骨のように引っかかっていたのですが、これで、少しは掴めてきたような気がします。
沢山の方にお答えいただき、本当に感謝しております。

回答No.12

pyon1956

#2です。少々補足と整理をば。
「数というもの」は実数であれ、整数であれ、自然数、虚数であれ実在する「もの」とはいえないと思います。
あえていうなら「もの」の属性、ありように含まれるものでしかありません。
そして、人類がその文化創造の過程でもろもろの必要に応じて作ってきたもののひとつが「数」なわけです。

自然数はかなり自然発生的に生まれたと思いますが、これとて最初は数と言うよりも簡単な対応関係だったと思われます。１、２、たくさん、という体系があるのですが、この場合社会関係が対話する関係のみでなりたっているので（RPGの会話みたいに）私に1個、あなたに１個で2個。あとは他の人に。という感じです。
それが社会の発展により分配の問題が生まれ、自然数や分数が生まれますが、ただし分割不能のものもあって分数は「不安定」でした。（文化により分数の規定を持たない場合がある。たとえば奴隷は半分にわけられないので）

負の数はもっと後まで「理論的なもの」でしかなかったのは当然でしょう。19世紀になってさえスタンダールは「なんで借金を重ねると財産になるんだ」みたいなことを言っている始末で。

そういう意味で虚数（というか複素数）を使わずに計算可能でも使ったほうがずっと解りやすい分野はありますし、行列なんかでエルミートとかユニタリなんてのは虚数を使わずに表現するのは少なくとも困難でしょう。このあたりとかリー群とか使うあたりの量子力学になると複素数を使わないのは不自然でもあり本質的に複素数の世界です。

お礼

属性、有りよう、確かにそうですね。
そもそも、”もの”に近い物として捕らえてしまった段階で間違っていたようです。（今思うに、焦点の内側に入ったときに出来る虚像のようなイメージを持っていました）

エルミート、ユニタリについては不勉強な為、わかりませんが、今、猛烈に虚数をもっと勉強してみたい気持ちになっているので、調べてみることにします。

回答No.11

oz-boshin

複素数について。
もとは２次方程式の解ですね。虚数が認められるにはそれなりの年月を必要としました。
現在ではなくてはならない数字の一つです。

イメージが出来ないのなら、複素数平面の有名な説明があります。

まず、数直線があります。
３という数字は、０から３に伸びる矢印と考えると、
３＋２というのは、０から３に伸ばした矢印の先に、
０から２まで伸ばした矢印をくっつけた、と考えられます。
倍にする場合、たとえは３倍にする場合は、その矢印の長さを３倍にすればいい。
さて、問題は負の倍です。これは、こう考えるのです。
たとえば、３×-1をします。
これは、０を中心として反時計回りにこの矢印をまわして、正反対を向いたところでとめます。
これが-3です。
このように、負の数をかけることを、「０を中心に180度半時計回りする」と決めました。

それでは、この回転を90度の位置で止めたらどうなるのでしょう。
この操作を２回すると、最初１であった数は、-1になります。
１にこの操作をして得られた数をiとおくと、
１×i×i＝-1
つまりi^2=-1となり、
ここに、２乗すると負の数になる数字が発明されたのです。

虚数というのは、日本人が「実数」という言葉に対応させて訳したから悪いのです。
英語では"Imaginary number"すなわち「創造数」なのです。

お礼

Imaginary number！！ちょっと格好いい呼び名ですね。
そして、無実数と共に、実感しやすい名前だと思います。（虚数という響きもロマンチックで好きですが）

回転を９０度で止めるという例えは非常にわかりやすく感じました。やはり、つまりは数の広がりなのですね。

回答No.10

fsfs

(1)Ｒ[x]/(x^2+1)　ではだめでしょうか？

(2)自分の認める数全体をＭとおきます。

初めに、Ｍ＝｛１～３０ぐらいまでの自然数｝だったとして、
直感的に、それらの存在と足し算、引き算、掛け算、割り算を認めると、
x-1=30
という方程式が立てられます。(x=30+1でもいいですが)
もし、Ｍの中に、上の方程式の解31を付け加えたい(というかそういう数を認めたい）と思ったならば、
Ｍ＝｛１、２、・・・、３１｝となりますが、
x-1=31
の解３２も付け加えないとつじつまが合わないという、か居心地がわるいです。
そうこうしてると
Ｍ＝｛１，２、・・・｝
になってしまいます。
x+1=1
の解を付け加えたいと思ったら、
Ｍ＝｛０,１，２、・・・｝
x+1=0
の解を付け加えたいと思ったら、
Ｍ＝｛整数全体｝
x*2=3　→　Ｍ＝｛有理数全体｝
x*x=2 (2次以上の代数方程式） →　Ｍ＝｛有理数の代数閉包｝
数直線上の点が表す数も　→　Ｍ＝｛複素数全体｝
ここまでくると、方程式の解として数を加える必要はもう無くなります。
でも数学的にはもっといろんな数の考え方があります。
たとえばどんな自然数よりも大きい数”ω”とか、そうなるとまたどんどん話が広がります。

理論的とはいっても、人によっては、１０の１０００乗とかはあまりにも大きくて空想上にしかないと思う人もいるのではないでしょうか？

お礼

なんだか、本当に身近なものに感じ始めました。
ありがとうございます。

回答No.9

string

そもそも数学は実用のために存在しているので、問題も実数、答えも実数であるべきです。本来「x^2=-4を解け。答えx=2i,-2i」という問題は、この問題だけで閉じているのであれば、意味のない問題です。例えば、何か工業製品を生産する際に必要な原料の量を方程式をたてて、解いたとしましょう。その結果、x=2iという答えが得られたとしても、2iの原料を用意することはできないので、方程式が解を持たない場合に形式的な答えを出すことは全く意味がありません。
しかし、「x^3-15x=4」という3次方程式を解の公式を使って解こうとすると、答えが「x=4」という実数であるにもかかわらず複素数を経由しないと答えがでてきません。問題も答えも実数であるにもかかわらず、問題を解く途中で複素数を使わないと答えがでてこないのです。このことを1572年ボンベリが指摘しました。人類が複素数を使用するようになったのは、それ以来です。この経緯を教えずに、「２乗して-1になる数をiと書く」ということだけを教えても決して複素数を理解することはできません。

その後、オイラーが複素数を利用してsinx/xの積分などいろんな積分の値を求めましたが、発見法的で論理的基礎を書くものでした(もちろんオイラー自身も発見法的であることは理解しています)。それに論理的基礎を与えるために1814年にコーシーが複素数平面上での積分、つまり、複素積分を定式化したのでした。複素積分は実数の積分を求めることを目的としています。
もっとも、複素積分で値を求めることのできる積分はすべて、複素数を使わないでも求めることができます。ただ複素数を使った方が便利です。

量子力学の場合、必ず必要なのでしょうか？複素数を用いた方が便利だとは思いますが、複素数を全く使わないでもできるのでは？と思いますが、実際に示したことがないので自信なしです。
ちなみに、調和振動子の場合だったら、複素数を全く使わないでもエネルギー順位を求められます。実際、ハイゼンベルグの原論文では、複素数は使っていません。

お礼

＞3次方程式を解の公式を使って解こうとすると、答えが「x=4」という実数であるにもかかわらず複素数を経由しないと答えがでてきません。問題も答えも実数であるにもかかわらず、問題を解く途中で複素数を使わないと答えがでてこないのです。

経由しないと答えが出ない、という説明も、非常にしっくりと来ました。数学の世界を拡張するものであることが実感出来ます。
まったくの門外漢なのですが、量子力学で複素数を～の下りも興味を持ちました。調べてみる事にしようと思います。

回答No.7

springside

この質問はよくあるのですが、私にとっては、「2乗して-1になる数」っていうのは何の違和感も疑問も全くなく、ごく普通にかつ当然に存在するものとして受け止められます。このため、疑問自体がよくわからなかったりします。

「2乗して-1になる」ってそんなに不思議で、想像つかず、実感が湧かないですか？

「2乗してゼロ以上になる世界」を実世界、「2乗してゼロ未満になる世界」を虚世界(?)［又は理論上の世界］などと区別・差別して考えたり、特別視すること自体が全く無意味であり、両方とも同列かつ同一の位置付けとして、一体的に考えればいいだけの話なのではないでしょうか。

お礼

ここで質問するまでは、とても同列の物とは思えなかったので質問をしているのです。

虚数を違和感もなく受け止められる人が人類全員だとは思えません。私のように想像出来ない人もいるのです。

一先ず、皆さんのおかげで、少し想像が付くようになってきました。

回答No.6

shibainumodoki

確かに、i^2=-1 なんて不思議な世界で、理論上の物でもあります。
しかし、複素数 z=a+bi (a,bは実数,iは虚数単位）の世界から見れば、b=0の時、つまりz=a(実数の世界)とは、複素数の中で特別なモノといえます。

しかし、虚数という概念が発見（？）されなければ、量子力学など現代物理学が、発展することもなかったかもしれないので、現代の便利な生活もなかったかもしれません。
数学の世界でも、虚数は、三角関数と指数関数を結びつける役割を果たしたり、微分方程式を解くのにも重宝します。

お礼

だんだん、実数の方が特別な気がしてきました。（笑

＞物理学が発展することもなかった
そう考えると、ありがたいものですね。

回答No.5

guuman

虚数という命名が悪かったのですね
有理数しかなかったときに実数を導入するとき実数と名づけたのが間違いの元でしょう
実数を第１段階拡張数と名づけ
虚数を導入するとき第２段階拡張数と名づけたら抵抗はなかったかもしれません
虚数という名が悪かっただけで
実数と虚数は本質的に同じ者です
むしろ実数のほうが曲者だったのです
虚数は比較的に素直に追加できるはずのものなのです

お礼

名前が悪いとは！
第一段階拡張数という言葉もわかりやすいですね。
実数の方が曲者とは、あまりに限定された存在だからですか？

＞虚数は比較的に素直に追加できるはずのものなのです
そう言われると、そんな気がしてきました。

回答No.4

noname#122289

電気工学関係では虚数単位（数学では　i　で表記しますが　電気の世界の人は　j　を用います）をよく見かけます。

交流電流が流れる回路で、特定の位置の電圧や電流を計算するのに複素数の概念は「便利」です。

虚数、ベクトル、三角関数…　高校生のころ何のために勉強するのかわからなかった数学上の事柄が現実の世界で「役に立っている」ことを知るのは楽しいですよ。

お礼

＞交流電流が流れる回路で、特定の位置の電圧や電流を計算する

こういうことにも使うのですね。
少し興味が出てきたので、検索して調べてみることにします。

回答No.3

luune21

レベルが低かったらすみません(＃２の方が一言で書かれています)

＞想像も付かない世界
を想像するとき、やはり私は想像できる世界に置き換えます。
～～～
私は今、野球場のピッチャーマウンドに立っています。このピッチャーマウンドは原子核の大きさらしい。(量子力学的には違うのでしょうが、ここはスケールの実感のみを実感しています)。そして、そこから見て観客席を私を中心に野球ボールがぐるぐる回っています。それが一番内側の電子らしいです。
そこで、原始の内側ってスカスカに空いているんだぁ、と私は実感します。
～～～
紙に直線を長く引き、どこかにメモリを１ついれ０と書きます。私は小さくなってその上に飛び乗ります。そこは実数をあらわす世界です。そこを適当に歩くと踏みだしたところの数が電光掲示板に出てきます。
それは３や５という整数だったり、11/13や0.333...という分数だったり、3.14...や1.414という無理数です。
では、この線以外の向こうの辺りには数はないのでしょうか？
X^2 + 2 = 0の解はどう考えてもこの線にはありません。
そこで、さっきの直線と垂直方向に線を引きます。そこが虚数の軸です。その新しい軸のおかげで今の実数軸から、新しい数の平面へ離れることができました。
電光掲示板にはa + bi形でいろいろ表示されます。
そこは、三角関数と指数関数が美しくからみあう大平原でした。
って、くどいだけ？(^^;

お礼

おお！！
新しい軸ですか。この考え方もわかりやすいです。
今までもボンヤリと、虚数は数の世界を広げるものであることはわかっていたのですが、そう言われるとしっくりきます。
美しくからみあう大平原ってのも良いですね。