虚数「i」の無限大への極限

質問

例えば、
0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位）を考えると、
その計算途中で、
(-1+ai)/(i+a^2)*［exp{(-1-ai)x}］(0→∞)となるところがあります。

ここで気になったのが、[ ]内のxに∞を代入したときです。
「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い（＝０）」と言われたのですが、
何か納得がいきません。
考えなくても良いとは？？
そもそも虚数の正負とは？？

もちろん、[ ]内が（－１）になると、答えも合います。

このようなとき、「i」をどう見ればよいのでしょう。
虚数がどうしてもはっきりと分からないのです。

どなたか御教授願います。

回答No.2

kabaokaba · ベストアンサー

>0→∞の積分∫exp(-1-ai)dx (iは虚数単位）を考えると、

これがまず書き間違いでしょうね
∫exp(-1-ai)x dx
でしょう．
見にくいので A=-(1+ai)と書きますと
これの原始関数は
(1/A)exp(Ax)ですのでつじつまがあいます．
また，0->∞の積分範囲ですが
「∞を代入する」というのが間違いです
これは
0 -> t の範囲で考えて値を出してから
t->∞の極限をとるという意味です．

本質は
exp(Ax)だけで，なおかつ x=0 を代入すれば 1 なので
結局は
exp(Ax) で x->∞としたときだけが問題になります．
さて，xは実数だということを忘れないように．
exp(Ax)=exp(-(1+ai)x)
=exp(-x-axi) = exp(-x) exp(-axi)
=exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))

ここで，|cos(ax) - i sin(ax)| = 1 であることに注意すれば
x->∞とすれば exp(-x) -> 0
よって，
exp(Ax) -> 0 (x->∞)

とまあ，こういうわけです．

>「前に「-」があるので、虚数は考えなくて良い（＝０）」と言われたのですが、
というのは，
exp(-x) x （絶対値が１の複素数）
という形になるので０になるという意味です．

とりあえず，複素数の基本事項を
とくに極形式とか複素平面のことをしっかり勉強しましょう．
この手の積分の計算（大抵は留数定理のあたりに出てくる）とかは，
極形式などを熟知していることが前提の話です．

お礼

回答ありがとうございます。なるほど。exp(-x) (cos(ax)-i sin(ax))で|cos(ax) - i sin(ax)| = 1、何よりこれを考えられなかったことが原因ですね。助かりました。

回答No.3

noname#101087

exp{(-1-ai)x} は
　絶対値=1/exp(x)
　偏角=-ax
の複素数ですね。
(x→∞) とすると、絶対値は0 に収束、偏角は不定、というのではありませんか？

回答No.1

N64

∫exp(-1-ai)dx のexp(-1-ai)は、定数ですから、
∫exp(-1-ai)dx = exp(-1-ai)∫dx となるためではないでしょうか？

補足

すいません。問題を写し間違えました。×∫exp(-1-ai)dx →○∫exp{(-1-ai)x}dxです。