至急お願いします！

質問

数学の問題なのですが、

p、qを実数とする。
xの3次方程式
4xの3乗-4pxの2乗-4(p+q)x+1=0
がp+qiを解にもつ。ただしiは虚数単位とする。p、qの値を求めよ。

の解法を教えて下さい！

回答No.3

noname#215361

p+qiにおいて、p=0とすると、与式を満たすqは存在しないので、p≠0として以下の考察をします。

(1)p+qiにおけるq=0の場合についての考察
pが与式の解になるので、
4p^3-4p^3-4p^2+1=0
4p^2=1→p=±1/2

・p=1/2のとき
与式
=4x^3-2x^2-2x+1
=（2x-1）（2x^2-1）
=0
これから、x=1/2、±√2/2
・p=-1/2のとき
与式
=4x^3+2x^2+2x+1
=（2x+1）（2x^2+1）
=0
これから、x=-1/2、±i√2/2

以上では、あくまでもp+qiにおいてq＝0とした場合を考えているので、他の2つの解が実数であるか虚数（この場合p=0となり前提と矛盾）であるかは無関係であり、p=1/2、q=0と、p=-1/2、q=0は、いずれも正解となる

(2)p+qiにおけるq≠0の場合についての考察
与式がx=p+qiを解にもつので、x=p-qiも解にもち、与式の左辺は、
｛x-（p+qi）｝｛x-（p-qi）｝=｛x^2-2px+（p^2+q^2）｝を因数にもつ
第三の解（実数解）をαとすると、与式の左辺は、
4（x-α）｛x^2-2px+（p^2+q^2）｝－(a)
と表わせる
与式の左辺は、x=0のとき1になるので、(a)においてx=0とすると、
-4α（p^2+q^2）=1－(b)
(a)を展開して与式の左辺と比較すると、
x^2の係数は、
-8p-4α=-4p→α=-p－(c)
これを(b)に代入して、4p（p^2+q^2）-1=0－(d)
xの係数は、
4（p^2+q^2）+8pα=-4（p+q）
(c)から、
4（p^2+q^2）-8p^2=-4（p+q）
4q^2-4p^2=-4（p+q）
（p+q）（p-q）=p+q
（p+q））（p-q-1）=0

・p+q=0→q=-pのとき
これを(d)に代入して、
4p（p^2+p^2）-1=0
8p^3-1=0
（2p-1）（4p^2+2p+1）=0
4p^2+2p+1=｛4（p+1/4）^2+3/4｝＞0
よって、2p-1=0→=0→p=1/2、q=-1/2
・p-q-1=0→q=p-1のとき
これを(d)に代入して、
4p｛p^2+（p-1）^2）｝-1=0
4p（p^2+p^2-2p+1）-1=0
8p^3-8p^2+4p-1=0
（2p-1）（4p^2-2p+1）=0
4p^2-2p+1=｛4（p-1/4）^2+3/4｝＞0
よって、2p-1=0→p=1/2、q=1/2-1=-1/2

以上から、いずれの場合もp=1/2、q=-1/2

回答No.2

bran111

I) q≠0の場合を扱う。

4xの3乗-4pxの2乗-4(p+q)x+1=0より

y=f(x)=x^3-px^2-(p+q)x+1/4

とおく。

f(x)=0がx=p+qiを解にもつとき、x=p-qiもまた解である。

つまりf(x)は[x-(p+qi)][x-(p-qi)]=x^2-2px+p^2+q^2を因子に持つ。

f(x)=0のときx^2-2px+p^2+q^2＝0すなわち

x^2=2px-(p^2+q^2) (1)

となり、

これを用いてf(p+qi)をxの次数を下げて計算を進める。

x^3-px^2-(p+q)x+1/4＝0

x^2(x-p)-(p+q)x+1/4＝0

(x-p)[2px-(p^2+q^2)]-(p+q)x+1/4＝0

2px^2-2p^2x-(p^2+q^2)x+p(p^2+q^2)-(p+q)x+1/4＝0

2p[2px-(p^2+q^2)]-(3p^2+q^2)x+p(p^2+q^2)-(p+q)x+1/4＝0

[p^2-q^2-(p+q)]x-p(p^2+q^2)+1/4＝0

x=p+qiを代入

[p^2-q^2-(p+q)](p+qi)-p(p^2+q^2)+1/4＝0

これが成り立つためには左辺の実数部、虚数部がともに0となる必要がある。

虚数部　　[p^2-q^2-(p+q)]q=0 ⇒　q(p+q)(p-q-1)=0 ⇒　 p=-qまたは p=q+1 (q=0は除外） (2)

実数部　　p(2q^2+p+q)-1/4=0 (3)

1）p=-q

(3)より　q^3=-1/8 ⇒　q=-1/2, p=1/2

2) p=q+1

(3)より　8p^3-8p^2+4p-1=0

因数分解して

(2p-1)(4p^2-2p+1)=0

pは実数なのでp=1/2, q=-1/2

いずれもp=1/2, q=-1/2

このとき元の方程式は

4x^3-2x^2+1=0

(x+1/2)(x^2-x+1/2)=0

x=-1/2, (1±i)/2

この解は条件を満たしている。

II) ｑ＝0のとき

元の方程式は

4x^3-4px^2-4px+1＝0

x=pを解に持つので

p=±1/2

1)p=1/2のとき

4x^3-4px^2-4px+1=4(x-1/2)(x^2-1/2)

x=1/2, ±1/√2を解とする。

これはq=0に反しない。

2)p=-1/2のとき

4x^3-4px^2-4px+1=4(x-1/2)(x^2-1/2)

x=-1/2, ±i/√2を解とする。

これはq=0に反する。

以上より

p=1/2, q=-1/2

または

ｐ＝1/2, q=0

回答No.1

tetra_o

解き方の大まかな流れとしては、

　(I)解を方程式に代入する
　(II)複素数の相等よりp,qの関係式を導く
　(III)得られた関係式よりp,qの値を求める

の三段階になります。つっかかるとしたら(III)ですかね？
以下解法になりますが、今一度自分で解かれてからご覧になること、またあくまで参考程度にご覧いただければと思います。

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(I)解を方程式に代入する

4x^3-4px^2-4(p+q)x+1=0にx=p+qiを代入すると、

　4(p^3+3p^2qi-3pq^2-q^3i)-4p(p^2+2pqi-q^2)-4(p^2+pq+pqi+q^2i)+1=0　…　(1)

(II)複素数の相等よりp,qの関係式を導く

(1)式を実数部分(iを含まない項)と虚数部分(iを含む項)に分けますと、

　(-8pq^2-4p^2-4pq+1)+4(p^2q-q^3-pq-q^2)i=0

複素数の相等より、実数部分と虚数部分はそれぞれ0となるので、

　-8pq^2-4p^2-4pq+1=0　…　(2)
　p^2q-q^3-pq-q^2=0　…　(3)

となります。

(III)得られた関係式よりp,qの値を求める

ここで、(2),(3)式からp,qの値を求めていくわけですが、(2)式を見ますと、定数項があるなどで因数分解が難しそうなので、(3)式を因数分解することを試みます。(3)式を今一度書きますと、

　p^2q-q^3-pq-q^2=0

となっており、左辺のどの項にもqがありますから、qで括って、

　q(p^2-q^2-p-q)=0

更に、p^2-q^2=(p+q)(p-q), -p-q=-(p+q)ですから、

　q{(p+q)(p-q)-(p+q)}=0

すなわち、(p+q)で括ることができて、

　q(p+q)(p-q-1)=0

この式よりp,qは、

　q=0　…　(i)
　p+q=0　…　(ii)
　p-q-1=0　…　(iii)

のうち少なくともいずれかひとつを満たす全ての自然数の組(p,q)によって得られます。
続いて、場合分けをして、

(i)q=0ならば、(2)式にこれを代入して、

　-4p^2+1=0　∴　p=1/2, -1/2

(ii)p+q=0ならば、これをq=-pと変形して(2)式に代入して、

　-8p^3-4p^2+4p^2+1=-8p^3+1=0　∴　p=1/2, q=-1/2

(iii)p-q-1=0ならば、これをq=p-1として(2)式に代入して、

　-8p(p^2-2p+1)-4p^2-4p(p-1)+1=0
　∴　-8p^3+8p^2-4p+1=0　…　(4)

この方程式をどうやって解くかですが、因数定理を利用するのが良いでしょう。すなわち、この方程式を満たしそうな実数を選んでpに代入し、実際に方程式が満たされる時、その実数を解の一つとすることができます(因数定理による高次方程式の解の見つけ方は、「因数定理 コツ」などで検索してみると簡単にヒットします)。ここでは、pに1/2を代入してみると、-8(1/2)^3+8(1/2)^2-4(1/2)+1=0となりますから、因数定理より、(4)式の左辺は因数分解することができて、組み立て除法を用いれば、

　(p-1/2)(-8p^2+4p-2)=0

となり、更に両辺-2で割って、

　(p-1/2)(4p^2-2p+1)=0　…　(4)'

ここで、pは実数なので、4p^2-2p+1=4(p^2-p/2+1/4)=4{(p^2-p/2+1/16-1/16)+1/4}=4{(p-1/4)^2+3/16}>0 となりますから、4p^2-2p+1≠0より、(3)'式は両辺4p^2-2p+1で割ることができて、

　p-1/2=0　∴　p=1/2, q=-1/2 　((ii)と同じ)

となります。

以上をまとめますと、

　(p,q) = (1/2,0), (-1/2,0), (1/2,-1/2)

の以上3組が答えとなります。

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以上です。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます