虚数の直観的な理解？

質問

オイラーの公式でΘがπのときには等式としてネイピア数eのiπ乗が-1となりますね。美しい等式ですね。この世の成り立ちの根本原理を現しているのでは？と思えるくらいの等式です。iは虚数で英語を辿れば「想像上の数」ですね。日本語に訳したときの「虚ろな数」とは印象がだいぶ違います。

　eもπも無理数です。eは複利計算で複利を半年複利、１ケ月複利、1日複利、分単位複利、秒単位複利・・・・と複利を無限に繰り込んでいくと収束して結果として出てくる数ですね。

　自然界の成長は元本部分と利息としての成長部分を「分けて」管理しているわけでありませんね。もともと「複利」でしかも複利を計算する区間を無限に繰り込んでいるわけです。そもそも単利と複利なんて区別もありません。

　ビジネスにおける「資本」としてのお金もビジネスにおける現場に「途切れなく投入」しているわけで、単利・複利なんて区別はありません。

　自然界にしろビジネスにおける資本の投入にしろ、こう考えると自然対数の底としてeがでてくるのは
イメージとして理解できます。

　πは円周率。これはeよりも直観として理解できます。

　分からないのが虚数iです。

　「想像上の数」としてのiというプレイヤーがeやπという現実の数を「介して」、なぜ-1というきれいな
整数となるのか？　直観的に考えるとどう解釈していいものなのか？　そんなこと簡単には説明できないよ！という感想かもしれませんが、ぜひ知りたいところです。またそういったことを解説している
書籍があればぜひ紹介をお願いしたいと思います。それぞれのかたの独自解釈でもかまいません。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

実数xについて定義した指数関数 e^x をテイラー展開して
　　e^x = Σ(x^n)/n!　(Σはn=0～∞の総和）
と表してみれば、指数関数をxが複素数である場合へ自然に拡張できます。実数tについての三角関数のテイラー展開
　　sin(t) = Σ((-1)^m)(t^(2m+1))/(2m+1)!　　(Σはm=0～∞の総和）
　　cos(t) = Σ((-1)^m)(t^(2m))/(2m)! 　　(Σはm=0～∞の総和）
と
　　e^(it) = Σ(i^n)(t^n)/n!　(Σはn=0～∞の総和）
　　　= Σ( ((-1)^m)(t^(2m))/(2m)! + i((-1)^m)(t^(2m+1))/(2m+1)! )　(Σはm=0～∞の総和）
を比べれば、実数tについて
　　e^(it) = cos(t) + i sin(t)
が【直感的】に分かるでしょ。

　蛇足ながら、虚数を「imaginary number」なんて呼ぶのは昔の名残りに過ぎません。今では少なくとも工業数学では不可欠ですし、複素数が嫌なら最初っからベクトルと行列でものを考えれば良い。
　行列はつい数十年前までは「高等数学」という扱いだった。ま、負の数ですら「実在しない！」とする主張が強かったのはそれほど古い時代じゃありませんし、実際、クロネッカーのような大数学者でも「自然数以外の数は、人工的に作った架空のもの」というようなことを言って、カントールを虐めまくった。というような混迷の歴史が、今なお語感に残っている訳です。
　しかし、数学に於いては、用語に使われる単語は全く意味を持たない。田中さんが「田んぼの中にいる人」という意味ではなくただの固有の名前であるというのと同様、imaginary numberは「想像上の数」という意味ではなく、「imaginary number」という固有の名前を持つひとつの概念である。つまり、どんな名前であろうと他とはっきり区別が付きさえすればいいんで、「宇宙際タイヒミュラー理論」だの「super nova」だの「ファイバーバンドル」だの、ともかく名付けた者勝ち。そして、名称は単なる名称に過ぎず、その名称が指す実体は概念なのですから、名称に使われた言葉の意味を斟酌しようと苦労したって全くの無駄であり、概念の定義そのものを学ばなくちゃ駄目です。

お礼

負の数さえ最初は否定されていたのですね。現代人は負の数を当たり前のように使っていますが、考え出されたときにはもうそれまでの自然数にくらべてかなり飛躍した概念だったと。　しかし、その概念を受け入れることでいろいろなことが便利に記述できるようになった。

　虚数も同じことで、最初は否定されていたのでしょうか。　しかしその概念を飲み込んで使ってみると、いろいろな自然現象などもうまく説明できるようになった。神秘的なことに
もつながっているのかと思いましたが、あくまで純粋数学的なことですね。数の概念がどんどん広がっていってその過程で出てきた概念が虚数。便利なツールという解釈で落ち着きました。

回答No.3

Water_5

"i"がどうしてe＾(iπ）＝－１になるのかというのは愚問です。

この辺どまりの者が、この辺の初等的な知識に酔いしれている暇があったら、もっと先をどんどん勉強し給え。

お礼

つまらないことにひっかかってしまったようです。

回答No.1

trytobe

三角関数 sin や cos を、ｅ の 「虚数乗」 で表せる

ここの時点で、実はいくつかの飛躍を持ち込んで、

・累乗の定義に実数乗だけではなく「虚数乗」という、掛け算だけでは記述できないものを導入して、指数関数を「複素関数」にまで拡張し、

・sin と cos で描かれる単位円（半径１の円）がｘ軸の正の方向から、半時計回りに１８０度（ラジアン表記でπ）だけ回転するとｘ軸上の－１に到達する

という「便利な状態がつくれるような関数の拡張」をした結果が、ｅ＾（iπ）＝－１ でキレイに様々な関数や定数の関係を維持したまま、さらに便利なようにまとめるのに好都合な「定義」につながった、

というだけなのだと思います。もっと別の定義（関数の拡張）もできるでしょうが、現時点の人類には、これが一番活用しやすい定義だから便利に使っているだけ、ということです。

お礼

単なるツールということのようですね。