iメートルは何秒？

質問

親戚の高校生に質問され、答えられませんでした。
　相対性理論によれば、時間をtとし、-t^2は距離の２乗と同じ単位のようなので、虚数単位をiとして、iメートルは何秒なのかと聞かれ、答えに窮しました。私には、答えがあるのかどうかもわかりませんが、確かに虚数の距離は時間になるようにも思えます。
　お分かりになる方、宜しくお願いします。

回答No.5

Skynetwork · ベストアンサー

特殊相対論では世界距離を

s^2 = (x2 - x1)^2 - c^2 (t2 - t1)^2

という具合に「定義」します。この量は、別の慣性系に移っても
値が変わらないため、非常に重要な物理量です。もし詳しく調べ
られるのでしたら「世界距離」をキーワードにしてみてください。

ところが「（世界）距離」（の２乗）と言っているのに、この値が
マイナスになることもあるのです。それが変な誤解を生んでいるのかも
しれません。

無理やり解釈すれば、ある慣性系で、ある瞬間に、i という距離の
ものがあったとします。

s^2 = -1

それが長さ０メートルとして見える慣性系があったとすると、
s^2 = -1 = -c^2 t^2
となるので、「静止した1/c秒間の事象」と捉えることができます。
ということで No.1 さんの 1 /c が出ましたが、数式遊びに過ぎず、
この説明は誤りですし、意味は全くありません。

とはいえ、たとえ無意味に帰着しても、疑問を抱いて考え抜く
というのはいいことですね。

お礼

＞とはいえ、たとえ無意味に帰着しても、疑問を抱いて考え抜くというのはいいことですね。

　当方の考えを汲んで下さり、丁寧な回答ありがとうございました。

回答No.6

sleipnir-san

空間x、時刻tをミンコフスキー空間上の座標と考えると、一般にはこれらの間には何の関係もありませんので、xとtの間に何らかの関数形を与えない限りは、xを決めたからといって、tを得ることはできません。時間というのは2つの時刻の差ですから、ご質問の条件では解答は難しいかと思います。
　しかし、これだけでは意味がないので、ご親戚の高校生の方がなぜこのような質問を考えたのか推測して見ます。
　ミンコフスキー空間でローレンツ変換不変な量は、
ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2 …(1)
と表せます。（本などでc=1と置かれている場合は、自然単位系で考えています）ここで、因果律が保たれている場合（dx=vdt, v<=c）は、ds^2 >= 0になります。
　逆に、ds^2 >= 0の条件ありきとすると、(1)の式から、
dx=iw（w:実数）…(2)
などと置いても条件を満たしそうです。このため、ご親戚の方はxが虚数の場合を着想されたのではないでしょうか。
　では、これにはどんな意味があるのでしょう。この着想には、一つの論理のジャンプがあります。それは、当初、xやtは実数だという前提で理論を構成したはずなのに、突然それが複素数まで拡張されていることです。このような手法は解析接続と呼ばれます。
　一般には、ある関数が解析接続可能であるかは自明ではありませんので、議論なくこのようなことはできません。（ですが、物理量の関数は解析接続可能であるとして議論を進めることも多いです。）
　いま、解析接続可能であるとした場合、(2)は何を意味しているのでしょうか。(1)に(2)を代入すると、
ds^2 = c^2 dt^2 + dw^2 …(3)
となります。(3)はよく見慣れた距離の定義ですよね。(2)のような操作をユークリッド化とかWick回転とか呼びます。ある物理量を計算するときに、(2)のようにおいた方が計算しやすいので使われる数学的手法です。
　では、このWick回転したあとの"時刻"wに物理的意味はあるのでしょうか？これに関しては様々な意見があるかもしれませんが、単なる数学的な操作であると見る向きが多数かと思います。

　こんなところでいかがでしょうか。ご親戚の方は高校生ということですし、ご不明の点があれば、高校の物理の先生に質問をぶつけてみるのも一つの手かとは思います。

お礼

丁寧な回答ありがとうございました。
虚数距離、虚数時間は便宜上の産物かも知れませんが、私自身も、いい頭の体操になりました。このサイトを見せて、本人に考えてもらいます。

回答No.4

ojisan7

高校では相対論は習わないはずですが・・・。相対論以前に高校の教育内容をしっかり理解しておくことが大切のような気がします。なお、「時間をtとし、-t^2は距離の２乗と同じ単位」は誤解です。正確には「時間をtとし、ｃｔは距離と同じ単位」です。相対論では虚数を使うこともありますが、これは記述上のことであって、本質的なことではありません。虚数の時間を考えているわけではないのです。

お礼

回答ありがとうございました。

＞高校では相対論は習わないはずですが・

授業内容を質問されたわけではないと思います。単に、聞きかじったか、読んだりして、疑問をもったのでしょう。授業以外のことにも興味を持つことは良い事だとおもいますので、できることなら答えてあげたいと思いました。

回答No.3

moby_dick

アインシュタインの特殊相対性理論は、根本的なところから間違っています。

簡単には、目の前にある、触れる時計の針が、10時を指し、同時に8時を指すと言う、全くあり得ない計算をするものです。

従って、その間違った数式で、
x^2=-(ct)^2・・・<0
などが出て、
xが虚数ではと、なったのだと思います。

xが虚数になるような事態は、単にその計算式が間違っている、事実と会わない、物理的に矛盾していることを表しているだけです。

（なお、量子力学では、虚数が出てきますが、物理的に矛盾することはないので正しいのです。）

回答No.2

Tacosan

ま～確かに 4次元座標では (x, y, z, ict) ですけど, 「i メートル」なんて考える意味を思い付かないなぁ.
だって, -(ct)^2 が L^2 (長さの 2乗と同じ次元) ってことは, (ct)^2 も L^2 なんだし. どっちかというと, ここの i は「数学的な方便」に近い気がする....

お礼

回答ありがとうございました。
　他の方も仰る様に、数学的方便かもしれませんが、その方便上、もし、何秒か算出できるわけでしょうか。陽電子が見つかったきっかけも数字からだったと記憶しております。その意義があるかどうかわかりませんが、子供の発想、疑問に答えられるものなら答えたいと思いました。

回答No.1

petit-C

cを光速(3.0×10^8 m/s)として、
-(ct)^2が、x^2のようなものなので、
単純に、1/c秒じゃないんですかね。

ds^2 = c^2 dt^2 - dx^2

なので。

しかし、距離を虚数にしたら時間になるなら、虚数の時間が空間を表すので、あまり正しくないような気がします。

あまり良く知りませんが、ホーキングの虚時間がそれを語っているようにも思えませんし。

お礼

回答ありがとうございました。

ホーキングも虚時間は、宇宙の開闢の特異点を避けるための便宜上のものと言っていたと何かに書いてありました。まあ、意義は二の次として、数字の遊びであろうと、子供がいろいろ考えているので手伝ってやろうと思いました。