虚数を含む絶対値の計算

質問

解答には途中の計算なしで1のみになっているのですが，自分で計算をやってみると
虚数とルートが外れません．

　| (i√a - 1)/(i√a + 1)|^2 = 1

約分して1になるのだと思うのですが，どのようにルートを外して約分をするのでしょうか．
教えて下さい．よろしくお願いします．

回答No.2

nyankororing · ベストアンサー

説明不足ですみませんでした。　回答者１です。

【Ａ】｛分子の，| (i√a - 1)|　から，
分子^2＝【√｛（-1）^2＋（√a）^2｝】^2　のところが良く分かりませんでした．｝
⇒　回答１に書いたように、
　【分数式の絶対値＝（分子の絶対値）/（分母の絶対値）】―――公式です。
　各辺を2乗して、
（分数式の絶対値）^2＝（分子の絶対値）^2　/（分母の絶対値）^2　です。

最初の質問の問題に出てきた数式の左辺は、絶対値の2乗となっていますね。
　そこで、質問の式の左辺＝（分数式の絶対値）^2　を計算せよ、というのですから、
（分子の絶対値）^2　/（分母の絶対値）^2　をすればよく、あとは、回答１の通り、

（分子の絶対値）^2＝
（分母の絶対値）^2＝
とやればよいのです。

【Ｂ】｛ここでは，|x-y|^2＝|(x-y)^2|＝|x^2-2xy+y^2|のように計算するのではないのでしょうか？｝
⇒　その式変形自体は間違っていません。使っても構わないのです。
しかし、そのようにすると計算が複雑になるばかりで、いつまでたっても解答に届かなくなるでしょう。
それは困る、ので他のうまい方法を探すのです。

　その結果、【2乗を後回しにして、先に絶対値を計算する】ことにした、そしたら解けた、ヨシ。
となったのです。作問者の意図はまさにそこにあるのです。典型的な作問でした。

　でも親切問題ですよ。一見すると、√だの絶対値の2乗だのと面倒そうですが、回答の通り、
かえって数値が易しくなるようにしてありますから。
　念のため【 |a+bi|＝√（a^2+b^2）】公式 はご存じですよね。

お礼

丁寧な解説どうもありがとうございました．これで納得しました．
展開しても解答にはたどり着かないのですね．
どうもどうもありがとうございました．

回答No.1

nyankororing

| (i√a - 1)/(i√a + 1)|＝| (i√a - 1)| /| (i√a + 1)|　 です。

分子^2＝【√｛（-1）^2＋（√a）^2｝】^2＝１+a

分母^2＝【√｛　1^2＋（√a）^2｝】^2＝１+a

故に、答＝分子^2/分母^2＝１

◆分数の絶対値＝（分子の絶対値）/（分母の絶対値）

お礼

解答どうもありがとうございました．
質問があるのですが，
補足のところにも入力しましたが，計算手順の所で，

分子の，| (i√a - 1)|　から，
分子^2＝【√｛（-1）^2＋（√a）^2｝】^2　のところが良く分かりませんでした．

|x-y|^2＝|(x-y)^2|＝|x^2-2xy+y^2|のように計算はしないでしょうか？

補足

早速の解答どうもありがとうございました．感謝致します．
すいません．質問があるのですが，

分子の，| (i√a - 1)|　から，
分子^2＝【√｛（-1）^2＋（√a）^2｝】^2　のところが良く分かりませんでした．

ここでは，|x-y|^2＝|(x-y)^2|＝|x^2-2xy+y^2|のように計算するのではないのでしょうか？
教えていただけるとありがたいです．よろしくお願いします．