積分計算

質問

これどうやって計算すればいいですか？

∫(0からa) r^3√(a^2-r^2) dr

自分がやると０になってしまうのですが、
答えは０じゃないみたいです……。

基本的なことができてない気がするのですが…。
教えてください！

回答No.5

yadarafumi · ベストアンサー

Ｎｏ．２さんの答えは間違っています
a^2-r^2=s^2
とおくと、
rdr=-sds
となるので、
∫ r^3√(a^2-r^2) dr＝∫(s^4 - a^2・s^3)ds
になります。ただし積分区間はaから０です。
あとはこれを計算して答えは
2/15・a^5
となりaの５乗に比例します。

回答No.7

info22

他の方の解答にある
(2/15)a^5
が正しい積分結果です。

回答No.6

sanori

３度目です。すみません。

関数は　r^3√(a^2-r^2) 　という掛け算なのに、
先入観から、勝手に　r^3／√(a^2-r^2)　という割り算にしてしまっていました。（←阿呆）

前回と同じようにやっていくと、

ｒ＝ａsinｘ　と置けば、
ｄｒ　＝　ａcosｘｄｘ
であり、また、
√（ａ^2　－　ａsin^2ｘ）　＝　√（ａ^2　－　ａ^2sin^2ｘ）
　＝　ａ√（１　－　sin^2ｘ）　＝　ａcosｘ
よって、
ｒ^3・√（ａ^2　－　ａsin^2ｘ）ｄｒ
　＝　ａ^3・sin^3ｘ・（ａcosｘ）・ａcosｘｄｘ
　＝　ａ^5・sin^3ｘ・cos^2ｘ・ｄｘ

・・・だから何？
っていう感じですよね。（笑）

Ｎｏ．５様のご回答を支持いたします。

回答No.4

ryn

> No.2 さん
むやみに解答を書くと規約違反になるのでは？
あと，被積分関数が r の4次なので求める値は a^5 に比例します．

> 答えは０じゃないみたいです……。
グラフを考えることでも0でないことはわかりますね．

回答No.3

sanori

間違えました。

「これで準備完了です。」の下から、

∫（３sinｘ　－　sin(３ｘ)）ｄｘ
　＝　－３cosｘ　＋　１／３・cos（３ｘ）　＋　Ｃ　　←前回回答では、第２項の符号をマイナスにしちゃってました。

ｘ＝π／２　のとき
　　－３・０　＋　１／３・０　＋　Ｃ　＝　Ｃ

ｘ＝０　のとき
　　－３・１　＋　１／３・１　＋　Ｃ　＝　－８／３　＋　Ｃ

差し引き　８／３

よって、求める定積分は、
ａ^3／４・∫（３sinｘ　－　sin(３ｘ)）ｄｘ
　＝　ａ^3／４・８／３
　＝　２／３・ａ^3

やはり、検算してください。

回答No.2

sanori

こんにちは。

ｒ＝ａsinｘ　と置けば、

ｄｒ　＝　ａcosｘｄｘ
であり、また、
√（ａ^2　－　ａsin^2ｘ）　＝　√（ａ^2　－　ａ^2sin^2ｘ）
　＝　ａ√（１　－　sin^2ｘ）　＝　ａcosｘ

よって、
ｒ^3／√（ａ^2　－　ａsin^2ｘ）ｄｒ
　＝　ａ^3・sin^3ｘ／（ａcosｘ）・ａcosｘｄｘ
　＝　ａ^3・sin^3ｘｄｘ
　＝　ａ^3／４・（３sinｘ　－　sin(３ｘ)）

ｒ＝ａsinｘ　なので、
積分区間　ｒ＝０→ａ　は、ｘ＝０→π／２　のことです。

これで準備完了です。

∫（３sinｘ　－　sin(３ｘ)）ｄｘ
　＝　－３cosｘ　－　１／３・cos（３ｘ）　＋　Ｃ

ｘ＝π／２　のとき
　　－３・０　－　１／３・０　＋　Ｃ　＝　Ｃ

ｘ＝０　のとき
　　－３・１　－　１／３・１　＋　Ｃ　＝　－１０／３　＋　Ｃ

差し引き　１０／３

よって、求める定積分は、
ａ^3／４・∫（３sinｘ　－　sin(３ｘ)）ｄｘ
　＝　ａ^3／４・１０／３
　＝　５／６・ａ^3

以上、ご参考になりましたら。

どっか計算を間違えているかもしれませんので、検算してください。

回答No.1

ryn

部分積分を繰り返せば0でない値は出ましたが，
どのように計算されましたか？

補足にでも書いていただければ，
どこがおかしいのか言えると思います．