積分の計算

質問

基本的な計算だと思いますが、分からないので教えてください
本来は定積分ですが、積分範囲の部分ははぶきます

∫cos2θ・(-sinθ)dθという式で
答えを見るとcos2θの部分を(2cos^2θ-1)と変形し、-sinθを(cosθ)'と変形して∫(2cos^2θ-1)・(cosθ)'dθと書き換えてましたが、その後がわかりません。

出来るだけ詳しく書いていただけると助かります。

回答No.1

banakona · ベストアンサー

これは「置換積分のテクニックを使える」ということです。
なぜ「置換積分を使える」と素直に言わないかというと、置換することなく計算できるから。

あえて　ｔ＝cosθと置いてみると、dt/ｄθ＝-sinθ　つまり　dt＝-sinθｄθ
これとｔ＝cosθを　　∫(2cos^2θ-1)・(-sinθ)dθ　　に代入すると
　　∫(2ｔ^2-1)ｄｔ　・・・（A)
となって超簡単に積分できる。

ここで（A)をじっくり見ると、ｔ　つまりcosθ　を変数だと思って積分していいことを示している。
別に　2cos^2θ-1　に限らず、もし
　　∫（ｆ（θ）の式）ｆ'（θ）ｄθ
という形をしていたら、ｆ（θ）を一つの変数だと思って（ｆ（θ）の式）を積分すればいいことを意味している。

こうすることのメリットは、ｔに置き換えて積分した後で、θに戻す手間が要らないこと。
特に本問は定積分だったので、置換をすると、上辺と下辺をθからｔに換算する必要がある。この手間が要らないのはウレシイはず。

お礼

ありがとうございました。
なるほどcosθで１つの積分変数として見るという意味があって、こういう書き方をしているんですね。

回答No.2

info22_

積分公式
∫f(g(t))g'(t)dt=F(g(t))+C
ここで
∫f(x)dx=F(x)+C'

この公式を適用して
f(x)=2x^2-1, g(t)=cos(t),t=θ
とおけば
F(x)=∫(2x^2-1)dx=(2/3)x^3-x+C''
F(g(t))=(2/3)g^3(t)-g(t)+C''
=(2/3)cos^3(t)-cos(t)+C''
なので
∫(2cos^2θ-1)(cosθ)'dθ=F(g(θ))+C
=(2/3)cos^3θ-cosθ+C'''
となります。

お礼

ありがとうございました。