この積分の計算方法がわかりません

質問

∫ a/ {(a^2 + z^2 )^(3/2)} dz
が
z/{a(a^2+z^2)^(1/2)}

になるそうです。
が、置換積分、部分積分どちらも試しましたがどちらともこのような答えになりそうな気がしません。

どのように計算すればこのようになるのでしょうか。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

NO.3 で訂正です。

>1/(a^2+z^2)^(3/2) = (cosθ)^2

は

1/(a^2+z^2)^(3/2) = (cosθ)^3/a^3

ですね。オンラインなので手が滑りました。
後はあっていると思います。

z=|a|tanθ=|a|sinθ/cosθなので 1 + (tanθ)^2 = 1/(cosθ)^2
からすぐに出てきます。

これと dz = |a|/(cosθ)^2 dθ とで積分は直ちに
∫(1/a)cosθdθ=sinθ/a　に変形できます。

以上です。

回答No.4

info22_

#1です。

A#3の補足について

>1/(a^2+z^2)^(3/2) = (cosθ)^2
>の部分と
>積分 = (1/a)∫cosθdθ
>の部分がわからないです。
>そこまで至る過程を書いていただけないでしょうか。

I=∫ a/ {(a^2 + z^2 )^(3/2)} dz
z = |a|tanθ
dz=|a|dθ/(cosθ)^2
a^2+z^2=a^2/(cosθ)^2
a/ {(a^2 + z^2 )^(3/2)}=(cosθ)^3/(a|a|)
I=(1/a)∫cosθdθ
=(1/a)sinθ+C
=(1/a)z/√(a^2+z^2) +C
=z/{a(a^2+z^2)^(1/2)} +C

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

z = |a|tanθ とするときれいに置換積分できますよ。

このとき -π/2 < θ < π/2 だから cosθ>0

となりますので、これを利用すると、

1/(a^2+z^2)^(3/2) = (cosθ)^2
dz = |a|/(cosθ)^2 dθ
a^2+z^2 = a^2/(cosθ)^2

なので 積分 = (1/a)∫cosθdθ = sinθ/a になります。

sinθ = z/(a^2+z^2)^(1/2)　ですから、z/{a(a^2+z^2)^(1/2)}。

補足

わかりました！ありがとうございます！
といいたかったところなんですが
もうしわけありません。
ずっと考えていたのですがどうしても
1/(a^2+z^2)^(3/2) = (cosθ)^2
の部分と
積分 = (1/a)∫cosθdθ
の部分がわからないです。
そこまで至る過程を書いていただけないでしょうか。
よろしくお願いします……。

回答No.2

uuu-chan

逆にz/{a(a^2+z^2)^(1/2)}を微分すると a/ {(a^2 + z^2 )^(3/2)}になるよ。

お礼

積分ですしねぇ……。
えっとありがとうございます。

回答No.1

info22_

a^2/{(a^2 + z^2)^(3/2)}
={(a^2+z^2)-z^2}/{(a^2 + z^2)^(3/2)}
=(a^2+z^2)/{(a^2 + z^2)^(3/2)} - (z*z)/{(a^2 + z^2)^(3/2)}
=1*(a^2 + z^2)^(-1/2) -z*z*(a^2 + z^2)^(-3/2)
=z'*(a^2 + z^2)^(-1/2) +z*{(a^2 + z^2)^(-1/2)}'
={z/(a^2+z^2)^(1/2)}'
なので両辺を積分してaで割ると
∫a/{(a^2 + z^2)^(3/2)}dz=z/{a(a^2+z^2)^(1/2)} +C
と求める積分が求まります。