積分

質問

∫0→2π (Q/πa^2)dθ

はどういう結果になるのでしょうか。

また

∫0→a 　(r/√r^2+z^2)dr
の計算方法も途中式付きで解説をお願いできますでしょうか。

物理で式は上記のように立てられたのですが数３をやっていないので恥ずかしいことに積分が出来ません。しっかり理解したいので答えのみというより導出の過程をご教授お願いいたします。

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

必要に応じて高等学校の数IIIの教科書などを参照してください．

前半はQ,aが定数なら直ちに

{Q/(πa^2)}∫_0^{2π}dθ={Q/(πa^2)}2π

=2Q/a^2

後半はまず微分公式

dx^α/dx=αx^{α-1}

と合成関数の公式：y=f(x),x=g(t)のとき

dy/dt=(dy/dx)(dx/dt)=f'(g(t))g'(t)

を確認してください．すると

√(r^2+z^2)=(r^2+z^2)^{1/2}

を微分すると

d√(r^2+z^2)/dr=(1/2)(r^2+z^2)^{-1/2}2r

=r/√(r^2+z^2)

となります．したがって

∫_0^a(r/√(r^2+z^2))dr=[√(r^2+z^2)]_0^a

=√(a^2+z^2)-|z|(√(z^2)=|z|)

となります．

お礼

ご親切に回答解説ありがとうございました。
また数2までしかとっていない僕でも理解できる途中式の一連の計算方法までご教授下さり本当にありがとうございます。
今後ともよろしくお願い申し上げます。

回答No.4

alice_44

数学でも、df(x)/dx でなく dy/dx という書き方があるけれど、
物理だと、関数の引数を明示しない書き方は更に多用されます。
Q や a が θ に依存しないかどうか、出典にあたって確認が必要です。
計算は、その後での話でしょう。

お礼

いつもアドバイスありがとうございます。
質問の内容が軽薄な状態で投稿し失礼いたしました。

回答No.2

kesexyoki

上の式は、積分記号の中に変数θが入っていません。
もし与式が正しいのであれば(Q/πa^2)はすぺて定数ですので積分記号の外に出せて、
∫0→2π (Q/πa^2)dθ=(Q/πa^2)∫1dθ=(Q/πa^2)[θ]0→2π=(Q/πa^2)・2π=2Q/a^2です。
aやQは、θによって値の変わる「変数」ではないですか？

物理式ですと、aやQは、単なる文字ではなく何かを表す記号ですよね？

下の式も同様です。いきなりaという文字が出てきていますが、zとの関係はあるんですか？
補足をお願いします。

お礼

補足もなにもなく質問をして失礼いたしました。おしゃるとおりで定数として扱います。そしてaは半径aの薄い円盤の上に電荷Qがあ一様に分布しているとき、点Pにおける電位を求めよというものでした。

回答No.1

info22_

>∫0→2π (Q/πa^2)dθ
>はどういう結果になるのでしょうか。

(Q/πa^2)がθに関係のない定数として扱えるなら
∫0→2π (Q/(πa^2))dθ
=(Q/(πa^2))∫0→2π dθ
=(Q/(πa^2))*2π=2Q/a^2
となります。

>∫0→a (r/√(r^2+z^2))dr
=[√(r^2+z^2)](0→a)
=√(a^2+z^2)-|z|

お礼

そのままdθ以外をすべて外に出して∫dθ　= [θ]として値を代入するのですね。
解答もおっしゃるとおりで2Q/a^2となっておりました。ありがとうございます。