積分計算

質問

力学の問題で、数学的に分からないところがあるので質問させて頂きます。
次のような微分方程式

　　(d/dt)^2 r　　＝　　-A/r^2　　　(　　r = r(t)　　 A = const　　)

がありまして、こいつの両辺にdr/dtを掛ける事で次のように変形し、積分に持ち込める事を以前教えて頂きました。

　　(d/dt) (dr/dt)^2 /2　　＝　　A(d/dt) (1/r)

積分すると、次の結果が導けると思います。

　　dr/dt　　＝　　√(2A/r + C)

もう一度積分すればrの値が求められると思うのですが、この先がどうしても思いつきません。。
初期条件は r(0) = R , (dr/dt)(0) = 0　です。ご存知の方いらっしゃいましたら宜しくお願い致します。

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

まず初期条件からC=-2A/Rと確定します。
　次に根号の中で平方完成を作ります。
　　√(2A)√(1/r-1/R)=(1/r)√(AR/2)√{1-(r/R-1/2)^2}
　後はr/R-1/2=sinθなどと変数変換すれば積分できると思います。
　（積分結果は簡単な式ではありませんが。）

お礼

回答ありがとうございます！
理解するのにかなり時間が掛かってしまいましたが、これで答えに辿り着けそうです・・！
残りは自力で頑張ってみます！