原始ｎ乗根で・・・

質問

代数学の問題だと思うのですが、

pを素数、W_nは原始n乗根であるとするとき、
Ｑ(√p)⊂Ｑ(W_(4p))であることを示せ。

という問題の解き方が一向にわかりません。誰か教えてください、お願いしますm(__)mまた、何か参考になるＵＲＬでもいいので教えてください。

回答No.2

nakaizu · ベストアンサー

まず、Q(√2)⊂Q(W_8)が成り立つのはわかりますね?つまりp=2のときになりたちます。
次にpを奇素数とするとGauss 和が√pになりますね。つまり√pは原始p乗根で表わせます。よって
Q(√p)⊂Q(W_p)⊂Q(W_(4p))
となりますね。

お礼

ありがとうございましたm(__)mでも、p=2のとき成り立つところがよく分かりません。よかったらもう少し詳しくお願いしますm(__)m

回答No.3

nakaizu

原始八乗根は四つあって(±√2±√2i)/2
ですね。i=√(-1)
これらの線形結合で√2は簡単にできますね。

お礼

どうもありがとうございましたm(__)m

回答No.1

Largo_sp

この問題って...Ｑ(√p）⊂Ｑ（Ｗ_(4p)）
√pが、4p乗根の集合に含まれる...ですよね...
√pがすべて何かの...4p乗根になるということをしめせばよいのでは...

お礼

アドバイスありがとうございましたm(__)m