群論 Z^*_pは原始元を含む

質問

タイトルにも記しましたが、
「pが素数であるとき、Z^*_pは原始元を含む」
ということがよくわかりません。

例えばp=5やp=11などpを具体的に設定してやれば原始元の有無を判定できるのですが（具体的な原始元の値を求めることになる）、上の文に出会ったとき、言われてみればまぁ原始元の１つくらい持っている気がすると思いました。
そこで、どうしてそのようなことが言い切れるのか、いろいろと調べてみましたが、結局手がかりを得ることができませんでした。

そこで質問なのですが、どのような考え方をすれば、この問題を説明（証明）することができるのでしょうか。

よろしくお願いします。

回答No.3

zk43 · ベストアンサー

実際に原始根を求めることは難しいですが、ともかく存在はします。
一般的には、有限体から０を除いた乗法群は巡回群であるという定理
があり、Z/pZは位数pの有限体であるので、これから０を除いた乗法群
(Z/pZ)*は位数p-1の巡回群であり、したがって、位数がp-1の元、すな
わち、原始根が存在することがいえます。
具体的に原始根を求める定理はないと思いますが、aが原始根の一つ
だと分かれば、(Z/pZ)*={1,a,a^2,…,a^(p-2)}となりますが、a^kが
原始根であるための必要十分条件は、kとp-1が互いに素であることなの
で、原始根はφ(p-1)個存在することになります。ここに、φはオイラ
ーの関数。
また、aが原始根ならば、ab≡1（mod p）であるbも原始根となります。

お礼

回答ありがとうございます。
巡回群とその関連知識を理解すれば分かるような気がしてきました。
まだまだ分からないことだらけですが精進しようと思います。

回答No.2

yoikagari

「原始元」ではなく、「原始根」ですね。
初等整数論の有名定理ですね。
証明は例えば、下記サイトにあります。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuronN/node44.html

お礼

回答ありがとうございます。
原始根というのですか。
URL先は私にはちょっと完全に理解するのは難しかったですが非常に参考になりました。

回答No.1

koko_u_

>いろいろと調べてみましたが、結局手がかりを得ることができませんでした。
群論の教科書には必ず載っていると思います。
(Z_p)^* が巡回群であることを示すだけですが、完全に独力で証明するのはちょっと難しい。
そして具体的な原始元を求めるのは更に難しいです。

お礼

回答ありがとうございます。
調べがまだまだ足りなかったようですね。
今度図書館に足を運んでみようかと思います。