1のn乗根

質問

1のn乗根を
　ω＝cos(2π/n)+isin(2π/n)
で表すとき
　1＋ω^h＋ω^2h＋ ・・・ ＋ω^(n-1)h＝0
となることを示せ

という問題の解法がわからないのですが、
これは複素数平面を用いて解くのでしょうか？
なるべく複素数平面以外の解法で解きたいのですが・・・

また参考になるサイトなどあれば教えていただけないでしょうか。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1-ω^h)(1＋ω^h＋ω^2h＋ ・・・ ＋ω^(n-1)h)
を考えるとわかり易い。

お礼

ありがとうございます。
参考にして解いてみます。

回答No.2

rnakamra

hに何か条件がついていませんか。
与えられた式は任意のhについて成り立つ式ではありません。

1＋ω^h＋ω^2h＋ ・・・ ＋ω^(n-1)h
=1+ω^h+(ω^h)^2+・・・+(ω^h)^(n-1)
これは、初項1,公比ω^h,項数nの公比数列の和です。
ですからω^h≠1のときは(hがnの倍数でない)
={1-(ω^h)^n}/(1-ω^h)とすることができます。
分子はhが整数でかつnの倍数でないときは
={1-(ω^n)^h}/(1-ω^h)=(1-1^h)/(1-ω^h)=(1-1)/(1-ω^h)=0
となります。
hがnの倍数の場合は足される全ての項が"1"になるため
1＋ω^h＋ω^2h＋ ・・・ ＋ω^(n-1)h=1+1+・・・+1=n
となり題意は成り立ちません。
hが整数でない場合は自分で考えてください。

お礼

ありがとうございます。
ご指摘の通り、hは整数でかつnの倍数でないという条件がありました。