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原始根
pは素数、kは自然数で、kはp-1の倍数ではないとき、pと互いに素な自然数aで、a^k-1がpの倍数とならないものが存在する。 これを原始根を持ち出さずに証明する方法があれば教えてください。
- Marico_MAP
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a≠0ならFermatの小定理により a^(p-1)≡1(mod p)である故、kをp-1で除した剰余をLとすれば、a^k ≡ a^L であるから、k < p-1の場合について証明すれば良いが、体Z/pZ上の多項式 x^k - 1の根はたかだかk個 (<p-1)である（b^k - 1 = 0なら、x^k-1 は x-bで割り切れる）から、(p-1)個の元1≦a≦p-1の中で、x^k - 1の根でないものが存在する。
お礼
ありがとうございます。 意外と高度な議論が必要なのですね…。 私が 1^k≡1 2^k≡1 3^k≡1 …… (p-2)^k≡1 (p-1)^k≡1 をいじり回していてもどうにもならなかったわけです…。