原始ｎ乗根の和をｆ（ｎ）

質問

高木貞治　初等整数論に
Ｆn(x）：１の原始ｎ乗根のみを根とする方程式
問題：Ｆn(x）の第2項の係数は-μ(n)に等しい　　これはほぼ理解できるのですが
解のプロセスの中で、原始ｎ乗根の和をｆ（ｎ）とすれば、、x^n-1=0から

d|n
Σｆ（ｄ）＝１(n=1のとき）

d|n
Σｆ（ｄ）＝0(n＞1のとき）　　　←これがいまひとつよくわかりません。
よろしくお願いします。
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原始ｎ乗根；ｎ乗して始めて１になる数

回答No.3

Tacosan · ベストアンサー

少なくとも, それなりには理解できると思うんだけどなぁ.... 「ω^k を k = 1～n まで足した和」なんだけど.... その前までは理解できてますか?
ちなみにいうと, 本質的には
P(d; n) = { x | x は 1以上 n以下の整数で n との最大公約数が n/d }
に対して { P(d; n) | d|n } が { 1, ... , n } の分割であることの証明です. Euler 関数に関する和も, 基本的にはこれと同じ証明ですよね?

補足

ω^k を k = 1～n まで足した和」
失礼極限だと思ってました。

回答No.4

Tacosan

別法:
f(d) が Moebius 関数であることを証明する. Moebius 関数に関するこの和が 0 になることは簡単に証明できるでしょう.

回答No.2

Tacosan

あ～, やっぱり大雑把すぎましたね. まあ, あれでわかるくらいならノーヒントで答えができそうな気もしますが.
で証明の概略:
n = 1 のときは当然なので n > 1 と仮定します.
ωを 1 の原始 n乗根 (の 1つ) とします. このとき, 次の性質が成り立ちます:
整数 k に対し ω^k が 1 の原始 d乗根 if and only if (k, n) = n/d.
ということで, 元の和は
Σ(d|n) f(d) = Σ(d|n) Σ(k: (k, n) = n/d) ω^k
となるわけですが, この右辺は実は
Σ(k: 1→n) ω^k
と等しくなります (確認してみてください). この値は 0 ですから, 元の和も 0 となります.
やってることは, Euler 関数 Φ(n) (n 以下の正整数で n と互いに素なものの個数) に対し
Σ(d|n) Φ(n/d) = n
が成り立つことの証明を拡張しているだけです.
なお, 「原始 n乗根を全て足すと 0」というのは (少なくとも字面は) おかしいです. n = 6 のときを考えると, 原始 6乗根は 2個しかなく, その和は正確に 1 となります.

補足

Σ(k: 1→n) ω^k
これはなんでしょうか。

ますますわかりません。

回答No.1

Tacosan

1 の原始 n乗根を使って f(d) をばらせばわりと簡単にわかるはず.

補足

もう少し具体的にいってもらいたのですが、
私なりには、原始ｎ乗根をすべてたせば、点（１、０）を通る正ｎ角形の頂点をベクトルの足し算的に足せば０なので０と思っているんですが、それではおかしいでしょうか。