有名な積分だったような気がするのですが・・・

質問

sinaω/ωを積分区間[０,∞]で積分したいのですが、どうすればいいんでしょうか？
よろしくおねがいします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

(1)　　∫{x=0 to ∞} {(sin x)/x} dx = π/2
が有名な積分ですね．
x = aω とでも置いてみればすぐわかりますように
(2)　　∫{ω=0 to ∞} {(sin aω)/ω} dω = π/2　　(a>0)
(3)　　∫{ω=0 to ∞} {(sin aω)/ω} dω = ０　　　(a=0)
(4)　　∫{ω=0 to ∞} {(sin aω)/ω} dω = －π/2　(a<0)
です．
a<0 では積分範囲が変更されることに注意．

oshiete_goo さんはちょっとうっかりされたようです．

(1)の積分が留数定理の応用で求められるのは，
oshiete_goo さんの言われるとおりです．
複素平面上で原点を中心とする半径 R の円(大円)と半径r の円(小円)を用意して，
(R>r です)
積分路 C を
C1: z=R から z=-R まで大円に沿って上側を動く
C2: z=-R から z=-r まで実軸に沿って動く
C3: z=-r から z=r まで小円に沿って上側を動く
C4: z=r から z=R まで実軸に沿って動く
と取り，
(5)　　f(z) = e^(iz) / z
の積分路 C についての積分で R→∞，r→0 を考えれば求められます．
この極限で，
C1 からの寄与はゼロ
C2 と C4 からの寄与がそれぞれ(1)の積分に i をかけたもの(合わせて(1)の 2i 倍)
C3 からの寄与は －iπ
結局，留数定理と合わせて(1)が得られます．

お礼

ふ～む。難しいですね。
でも解説ありがとうございました。

回答No.6

siegmund

mmky さん：
> [∫[0,∞]{e＾(-αx)sinx/x}dx=π/2-tan＾-α
> が証明できれば、α=0 の時に∫[0,∞]{sinx/x}dx=π/2　　]ですね。

tan^(-1)α ですね．

mmky さんの方針なら，複素積分を使わずにできます．
ちょっとトリッキーな気もしますが....

この方針でやるのでしたら
(1)　　I = ∫[0,∞]{e^(-αx) (sin λx) / x} dx
とおいて
(2)　　dI/dλ = ∫[0,∞]{e^(-αx) cos λx} dx = α/(α^2 + λ^2)
ですから，両辺をλで積分して
(3)　　I = tan^(-1) (λ/α) + const
λ=0 のとき I=0 ですから，(3)の const はゼロとわかります．
したがって
(4)　　I = tan^(-1) (λ/α)
になり，この式で α→0 とすると No.2 の私の回答と同じ式が得られます．

(4)で λ=1 とおくと，mmky さんの式
(5)　　∫[0,∞]{e^(-αx) (sin x) / x} dx
　　　　= tan^(-1) (1/α)
　　　　=π/2 - tan^(-1) α
になります．

積分と微分の順序を交換しているので，
本当は一様収束かどうかの検討が要りますが，さぼりました．

回答No.5

mmky

＃4mmkyさんから質問者さんへ
#2のsiegmund先生からの詳しい解説がありますので質問者さんは#2を参考にしてくださいね。
追伸まで

回答No.4

mmky

参考まで
∫[0,∞](sinx/x)dx=π/2
a>0, ｔ=ax, dt=adx
π/2=∫[0,∞](sint/t)dt=∫[0,∞](sinax/ax)adx=∫[0,∞](sinax/x)dx
a<0, ｔ=ax, dt=adx
π/2=∫[0,-∞](sinax/x)dx=-∫[0,∞](sinax/x)dx
だからx=ωと置き換えると、
∫[0,∞](sinaω/ω)dω
= π/2, a>0
=-π/2, a<0
になるかな。
[∫[0,∞]{e＾(-αx)sinx/x}dx=π/2-tan＾-α
が証明できれば、α=0 の時に∫[0,∞]{sinx/x}dx=π/2　　]ですね。
参考程度まで

お礼

自分は数学が苦手でいつも苦労してます。
この問題もみなさんの解説見てもよくわからないくらいです・・・
でも、ありがとうございました。頑張ります。

回答No.3

oshiete_goo

＃１のoshiete_gooです．
siegmund先生，誤りを訂正して下さりありがとうございます．
よく確かめずに粗忽な回答をしてしまい質問者さんを惑わせてすみませんでした．
反省．

お礼

いえいえ、答えて下さってありがとうございました。
またお世話になるかもしれませんがよろしくお願いします。

回答No.1

oshiete_goo

留数解析の典型問題ですから，参考書等をご覧になるのが手っ取り早いでしょう．
(sinaω)/ω　ならば　πa/2 ですかね．