簡単な定積分

質問

簡単な定積分なはずなのですが，
何度計算しても，答えらしき値になりません．
何方でも構いませんので，アドバイスお願いします．

（問題の積分）
(1/T)*∫(1-(2|t|/t))dt
ただし，積分区間は-T/2～T/2

（答え）
1/2

よろしくお願いします．

回答No.6

info22 · ベストアンサー

#3,#4です。

A#4で訂正があります。
（手元のg(t)のグラフの係数2を忘れていた為の単純ミスです。）
>A#3の補足で修正された
>g(t)=1-2|t|/T(-T/2≦t≦T/2)（■)の場合、
（この式は合っています。）
>正の平均値（直流分）を含む三角波
>で、平均値は
>a0=3/4(=0.75)
>となります。
a0=1/2(=0.5)
が正しいです。

関連して以下も訂正になります。
>g(t)が(■)の場合a0=3/4
a0=1/2=0.5

>>なので、当初の質問の
>> （答え）
>> 1/2
>はいずれにしろ間違いです。
>(A)の定義式のa0ではないということです。
当初の答が正しく、質問者さんのA#3の補足の
g(t)=a0+Σ[n=1→∞]{an*cos(2πnf0t)+bn*sin(2πnf0t)}
の定義式どおりで問題ないということです。

＃失礼しました。

お礼

返信が遅れ申し訳ありませんでした．
再度，計算にチャレンジしてみます．

訂正までして頂き，丁寧な解説，有難うございました．

回答No.5

noname#111804

＞（問題の積分）
＞(1/T)*∫(1-(2|t|/t))dt・・・・・（１）
＞ただし，積分区間は-T/2～T/2

＞　a0=1/T∫[-T/2→T/2]g(t)dt
＞　an,bnは省略，ただしf0は1/T
＞ちなみに問題は，周期関数g(t)=1-2|t|/T・・・・・（２）

（１）式では（２）のT---->tとしているのですが
これだと、大分違ってくるのですが。

回答No.4

info22

#3です。
A#3の補足質問について
>　g(t)=a0+Σ[n=1→∞]{an*cos(2πnf0t)+bn*sin(2πnf0t)}…(A)
>　a0=1/T∫[-T/2→T/2]g(t)dt　…(B)
>　an,bnは省略，ただしf0は1/T
この定義の場合
a0はg(t)の平均値（直流分）になります。
g(t)は周期Tの周期関数であり、
平均値a0はg(t)の1周期[-T/2,T/2]についての平均である（B)式で計算できます。

A#3の補足で修正された
g(t)=1-2|t|/T(-T/2≦t≦T/2)（■)の場合、
正の平均値（直流分）を含む三角波
で、平均値は
a0=3/4(=0.75)
となります。

修正前の
g(t)=1-2|t|/t(-T/2≦t≦T/2)…(●)の場合、
g(t)=3(-T/2≦t<0),=-1(0<t<T/2)で
正の平均値（直流分）を含む矩形波
で、平均値は
a0=(3-1)/2=1
となります。

なので、当初の質問の
> （答え）
> 1/2
はいずれにしろ間違いです。
(A)の定義式のa0ではないということです。

g(t)が(■)の場合a0=3/4
g(t)が(●)の場合a0=1
となります。

【注意事項】
g(t)の展開形がa0で始まる場合は
展開式の係数が同じになる。
しかし、係数a0とan(n≧1)の積分式の形式が一致しない。

g(t)の展開形がa0/2で始まる場合は
展開式の係数が初項だけ(1/2)が付き同じにならない。
しかし、係数a0とan(n≧1)の積分式の形式が一致する。

回答No.3

info22

> (1/T)*∫(1-(2|t|/t))dt
> ただし，積分区間は-T/2～T/2

> 実は，この積分，フーリエ級数のa0(第1項)に該当する部分
だったりするんですけど…

フーリエ級数展開の定義式と係数a0等の定義式を書いてください。

そうすれば
積分
a0= (1/T)*∫[-T/2～T/2] (1-(2|t|/t))dt＝1
で
フーリエ級数展開式では
の初項が
a0/2=1/2
となっている
かと思います。
確認して見て下さい。

【ポイント】フーリエ級数展開式の係数を形式に計算するのではなく、
係数の定義式とフーリエ級数展開式の関係を正しく理解するようにして下さい。

補足

周期関数のフーリエ級数の表現
　g(t)=a0+Σ[n=1→∞]{an*cos(2πnf0t)+bn*sin(2πnf0t)}
　a0=1/T∫[-T/2→T/2]g(t)dt
　an,bnは省略，ただしf0は1/T
これに当てはめて考えていたのですが…
見ている本では，指数フーリエ級数の場合だと，
a0/2という表現があるのですが…
しかし，本が間違っているとは考えがたいので…
どう考えればよいのでしょうか？
質問が長くなってしまい申し訳ありません．

ちなみに問題は，周期関数g(t)=1-2|t|/Tのフーリエ変換です．

回答No.2

noname#111804

積分区間は-T/2～T/2として。
∫ １　－　２｜ｔ｜／ｔ　ｄｔ
　＝　∫１ｄｔ　－　２∫｜ｔ｜／ｔ　ｄｔ
＝１

お礼

回答ありがとうございます．
…1/2にはなりませんよね．

回答No.1

sanori

こんばんは。

∫ １　－　２｜ｔ｜／ｔ　ｄｔ
　＝　∫１ｄｔ　－　２∫｜ｔ｜／ｔ　ｄｔ

ここで、
ｔ＞０　のとき、
２∫｜ｔ｜／ｔ　ｄｔ　＝　２∫ｔ／ｔ　ｄｔ　＝　２∫１ｄｔ
ｔ＜０　のとき、
２∫｜ｔ｜／ｔ　ｄｔ　＝　２∫－ｔ／ｔ　ｄｔ　＝　－２∫１ｄｔ

よって、
∫[t=-T/2→T/2]　１　－　２｜ｔ｜／ｔ　ｄｔ
　＝　∫[t=-T/2→T/2]１ｄｔ　－　２∫[t=-T/2→T/2]｜ｔ｜／ｔ　ｄｔ
　＝　∫[t=-T/2→T/2]１ｄｔ　－　２∫[t=-T/2→0]１ｄｔ　－　（－２∫[t=-0→T/2]１ｄｔ）
　＝　［ｔ］[t=-T/2→T/2]１ｄｔ　－　２［ｔ］[t=-T/2→0]　－　（－２［ｔ］[t=-0→T/2]）
　＝　［Ｔ／２　－（－Ｔ／２）］　－　２［０　－（－Ｔ／２）］　＋２［Ｔ／２　－　０］
　＝　Ｔ　－　２・Ｔ／２　＋　２・Ｔ／２
　＝　Ｔ

これに　１／Ｔ　をかければ、答えです。

なお、Ｔ＝０　のとき　｜ｔ｜／ｔ　は不定ですが、
積分の結果には影響を与えません。

以上、ご参考になりましたら。

お礼

回答ありがとうございます．
実は，この積分，フーリエ級数のa0(第1項)に該当する部分
だったりするんですけど…

単純に積分だけなら，”1”になりますよね．．．
問題の解答がなぜか1/2-…となっていたので，
積分に問題がなければ，何がいけないのでしょうか＾＾；