積分

質問

次の積分ってどうやって解けばいいのでしょうか？お手数ですがよろしくお願いします。

（R-(R^2-dh^2)^(1/2)）dh 積分区間0→R

おかしな点があれば是非ご指摘願います。

回答No.1

noname#24477 · ベストアンサー

式が　∫（R-(R^2-h^2)^(1/2)）dh
なのではないか、と思うのですがどうでしょう？
（真ん中のｄが余分）

そう思って解答を書きますが

ｙ＝（R-(R^2-h^2)^(1/2)　と置けば
ｙ－Ｒ＝-(R^2-h^2)^(1/2)
（ｙ－Ｒ)^2＝Ｒ^2－h^2
（ｙ－Ｒ)^2＋h^2＝Ｒ^2
ですから(0,R)を中心とし半径Ｒの円の下半分です。（元の式でＲ－√の形）
だから０からＲまで積分すれば円の４分の１です
（答）（1/4）πＲ^2

まともに積分しようと思えば√の中でＲ＝ｈsinθ　のような置換をするでしょう。

回答No.3

mmky

ojamanbo さんにかわって一部参考まで

X^2+Y^2=R^2
は中心(0,0),半径Rの円ですよね？これを
Y=√(R^2-X^2)
と変形するとY>=0の領域、つまり上半分を示すとのことですが（高校教科書）どうして変形したら示す領域が変わるのですか？
変形すると正確には、
Y=±√(R^2-X^2) 　ですね。
(R^2-X^2) ＞0　の条件で考えますから、
Y=+√(R^2-X^2) が上半分、Y=-√(R^2-X^2) が下半分ですね。

それから追加で、
X^2+Y^2=R^2 として、質問の√(R^2-h^2) という表現は、
h=x　か　h=y かの二通りが考えられますね。
R-√(R^2-x^2), R-√(R^2-y^2), の二通りということですね。
極座標表示では、x=Rcosθ、y=Rsinθ　ですけども、
h=x だと、積分値は、＃２のように　R＾2(1-π/4）
h=y だと、積分値は、＃２のように　R＾2(1-π/4）
ということでどちらも同じになりますね。

以下参考の計算
f(h)={R-(R^2-h^2)^(1/2)}
∫[0→R]f(h)dh=∫[0→R]{R-(R^2-x^2)^(1/2)}dh
=∫[0→R]Rdh-∫[0→R](R^2-h^2)^(1/2)}dh
=R＾2-∫[0→R](R^2-h^2)^(1/2)}dh

h=x, y＾2+x＾2=R＾2
x=Rcosθ, x＾2=R＾2cos＾2θ, dx=-Rsinθdθ
=R＾2+R^2*∫[π/2→0]sin＾2θdθ
=R＾2-R^2*∫[0→π/2]sin＾2θdθ
=R＾2-R^2*(π/4)=R^2(1-π/4)

h=y, y＾2+x＾2=R＾2
y=Rsinθ, y＾2=R＾2sin＾2θ, dy=Rcosθdθ
=R＾2-R^2*∫[0→π/2]cos＾2θdθ
=R＾2-R^2*∫[0→π/2]cos＾2θdθ
=R＾2-R^2*(π/4)=R^2(1-π/4)

参考程度に

お礼

そうですね。基本的なことですがきれいに忘れていました。どうもありがとうございました。

回答No.2

noname#24477

#1です。
調子に乗って間違えました。

積分で座標軸とグラフの間の面積になりますから
正方形から下に書いた答を引くことになります。

よって
Ｒ^2－(1/4)πＲ^2

お礼

ありがとうございました。ところで初歩的な質問なんですが
X^2+Y^2=R^2
は中心(0,0),半径Rの円ですよね？これを
　　　　　　　　　　　　　　Y=√(R^2-X^2)
と変形するとY>=0の領域、つまり上半分を示すとのことですが（高校教科書）どうして変形したら示す領域が変わるのですか？あと
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（ｙ－Ｒ)^2＋h^2＝Ｒ^2
ですから(0,R)を中心とし半径Ｒの円の下半分です。
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はなぜ下半分になるのでしょう？上の事に照らし合わせると上半分になるのではないかと思うのですが。。。よろしくお願いします。