中学3年相似の問題

質問

図のように平行四辺形ABCDの辺AD上に点Eをとり、線分CEの延長と線分BAの延長との交点をFとする。
(問)AB=BC 角ABC=120度　AE:ED=2:3 BE=5cm
のとき、線分DFの長さを求めなさい。

テストがあります。
解説をお願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

AB = BC より、平行四辺形ABCDはひし形である。このひし形の一辺を x とする。

点Bから辺ADに、垂線BGをおろす。
角BAGの大きさは60°なので、（三角定規の形より）AG = (1/2) x , BG = (√3/2) x である。
直角三角形BEGを考える。
EG = AG - AE = (1/2) x - (2/5) x = (1/10) x
BG = (√3/2) x
BE = 5
三平方の定理より
(1/100) x^2 + (3/4) x^2 = 25
(19/25) x^2 = 25
x = 25/√19

FA // DC より △EAFと△EDCは相似である。
EA : ED = 2 : 3 より AF : DC = 2 : 3
DC = x より AF = (2/3) x

Fから直線ADに垂線FHをおろす。
角FAHは60°なので、（三角定規の形より）
AH = (1/2) AF = (1/3) x
FH = (√3/2) AF = (√3/3) x
である。よって
HD = HA + AD = (1/3) x + x = (4/3) x
である。
直角三角形FDHに三平方の定理を用いて
DF^2 = FH^2 + DH^2
DF^2 = (3/9) x^2 + (16/9) x^2 = (19/9) x^2
よって
DF = (√19/3) x = 25/3 (cm)

お礼

すいません、分かりました！
解説、本当にありがとうございました。

補足

角BAGの大きさは60°なので、（三角定規の形より）AG = (1/2) x , BG = (√3/2) x である。

↑がわかりません。解説お願いします。