図形の問題がわかりません。

質問

閲覧ありがとうございます。

図形の問題がわかりません。教えてください。

問題を書きます。

図のように 円Ｏに内接する四角形 ＡＢＣＤがあります。2辺 AD, BE を延長し その交点を Ｃとし、∠ABE =90゜, 2AB =BC, AB =1, EはBCの中点とします。このとき、

∠ＡＤＥの大きさ と,円Ｏの直径と, ＤＥの長さを求めよ。

また、△ＡＢＣの面積は△ＣＤＥの面積の何倍か。

というのが問題です。

詳しく教えて戴ければ嬉しいです。

よろしくお願い致します

この投稿のマルチメディアは削除されているためご覧いただけません。

回答No.3

spring135 · ベストアンサー

⊿ABEにおいて∠ABEが円周角＝90°であることからAEは直径となり円の中心Oを通る。

AB=BE=1であることから,⊿ABEは直角2等辺三角形となりAE=√2

⊿ADEはAEが直径であるので円周角として∠ADEは直角である。

以上から

∠ＡＤＥの大きさ＝90°、円Ｏの直径＝AE=√2

以下にＤＥの長さ=xをもとめる。

⊿ABCにおいて、BC＝2、AC＝√（AB^2+BC^2)=√(2^2+1^2)=√5

⊿ABCと⊿EDCは2角が等しい（∠Cが共通、∠ABC=∠EDC=90°）ので相似、よって

AB/AC=DE/EC　⇒　1/√5＝x/1　⇒　x=1/√5　　

CD＝√(1-x^2)=√(1-1/5)=2/√5

⊿ABCの面積=AB・BC/2＝1

⊿CDEの面積＝CD・DE/2=(2/√5)・(1/√5)/2=1/5

△ＡＢＣの面積は△ＣＤＥの面積の5倍

お礼

回答ありがとうございます

回答No.5

noname#215361

ANo.4の補足です。

△ABE考えると、正弦定理から、
EA/sin90°=EA=円Oの直径
よって、円Oの直径は、三平方の定理から√（1^2+1^2）=√2

円に内接する四角形の対角の和は180°であるから、
∠BAC=∠DEC
これから、△ABCと△CDEは、2角がそれぞれ等しく相似（2つの三角形共に直角三角形になる）
よって、∠CDE=90°であり、∠ADE=180°-90°=90°

△ABCと△CDEの相似比は、△ABCの斜辺CAの長さと△CDEの斜辺の長さの比を考えればいい
△ABCの斜辺CAの長さは、三平方の定理から√（2^2+1^2）=√5
△CDEの斜辺CEの長さは1
これから、△ABCと△CDEの相似比は、√5：1
よって、DE=AB*1/√5=1*1/√5=√5/5

また、△ABCと△CDEの面積比は、（√5）^2=5：1^=1
よって、△ABCの面積は△CDEの面積の5倍

なお、△ABCと△CDEは相似なので、△CDEと表わさず、対応する頂点の順に△EDCと表わしましょう。

お礼

ありがとうございます

回答No.4

noname#215361

△ABCと△CDEの相似比は、斜辺の長さの比で考えると簡単です。
（△ABCと△CDEが相似であることの証明は省略）

△ABCの斜辺の長さは、三平方の定理から、√（2^2+1^2）=√5
よって、△ABCと△CDEのの相似比は、√5：1
これから、△ABCと△CDEの面積比は、（√5）^2=5：1^=1
以上から、、△ABCの面積は△CDEの面積の5倍

お礼

回答ありがとうございます

回答No.2

noname#200452

4倍です。△ＡＢＣと△ＣＤＥは2角が等しいので相似で、相似比は２：１だからです。
相似比が2：1なら面積比は4：1になります。なぜ相似かというと、円に内接知る四角形の対角の和は180°で、∠ABEが90°だから∠EDCも90°になり、∠Cは共通だからです。2組の角が等しい。円に内接する四角形の対角の和が180°であることは、円周角の定理から説明できますが、円の問題の基本定理として覚えておきましょう。

お礼

ありがとうございます

回答No.1

noname#200452

４倍です。△ＡＢＣと△ＣＤＥは相似で、辺の比が２：１なので面積の比は４：１になります。
なぜ相似かというと、∠Cが共通で、∠ABE＝∠EDC ＝90°だからです。∠EDCは内接四角形の対角の和は180°という性質と∠ABE＝90°ということからわかります。

お礼

回答ありがとうございます