３体問題でのカオスとなるきの軌道

質問

この場合の軌道のｘ成分ｘ＝f(t)は、ｔ＝０でテーラ展開可能でしょうか？
（もちろん適切に座標をとるとしてです）
最初、Lim[Δx→０] でも軌道は収束しない＝微分できない　とはやとちりしてましたが、
「時間が経つと全く異なる軌道に、、、」ということなので、Lim[Δt→０]なら、Δf/Δtは収束し、高次微分も収束すると思います。
したがって、テーラ展開可能のように思えますが、
テーラ展開の一意性から、テーラ展開できるとすると、カオスにならない
と思います。
どう考えればよいでしょうか？

回答No.2

ojisan7 · ベストアンサー

>３体問題の場合、可積分でないなら、カオスになる

確かに一般３体問題は、複雑で、カオス的な軌道を描きますが、必ずしもカオスになると断定することはできません。カオスとは何かということにもよりますが、まずは、決定論的な方程式における、初期値への鋭敏な依存性（リアプノフ指数が正であること）が認められるということでしょうか。
それから、この場合の「可積分」というのは力学系で用いられ、保存量と自由度の関係から定義される用語です。３体問題は、「エネルギー積分」等の保存量が不足し、解析的に解くことができませんから、「非可積分系」になります。
可積分とテーラ展開はあまり関係ありません。３体問題のような非可積分でも、摂動法では、２次か３次の近似ですが、テーラ展開を使っていますよね。次数を高めればさらに近似の精度を高めることができますが、計算は大変です。

補足

＞>３体問題の場合、可積分でないなら、カオスになる
とは、言い切れないということですね。よくわかりました。
＞摂動法では、、、、次数を高めればさらに近似の精度を高めることができます
というのが疑問なのです。
カオスでは、十分大きなｔでのf(t)は、初期値x0＋ΔxのΔxに依存というわけで、
初期値を少し変えてもf(t)のt0でのテーラ展開が、十分大きなｔにおいて、
１つの関数に収束するのではカオスとはいわない　でしょう？
で、
ｔ＝０でのテーラ展開＝マクローリン展開の、各項の係数は
「ｔ＝０」での(d^nｘ/dｔ^n)/n!　で、ｔがどんなに大きくなっても変わりません。
したがって、未来永劫、「Δt→０で計算したx0＋Δx→x0の解」で計算されますが、
ｔ＝０で正則なら、Δt→０の時、x0＋Δx→x0ですから、Δｘに依存しません。
ということは、カオスであっても、
ｔ＝０でのテーラ展開は「ｔが十分大きいとΔxに依存する」ことを表してないです。
これがおかしいと思うのです。
逆にいえば、
カオスの場合の軌道f(t)は、ｔ＝０でのテーラ展開が
「ｔが十分大きいと意味を持たない」という変な関数である
ということで、よいでしょうか？

回答No.7

Tacosan

それこそ三体問題における「ラグランジュ解」って, 解析的に書けてるんじゃなかったっけ....

お礼

ありがとうございました。
そもそも、
カオス＝解析的な関数でない とは、一概に言えないですね。
ある方から、僕のブログに、コメを頂きました。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/58929175.html

回答No.6

Tacosan

えぇと... なんだろう, 「微分方程式って、一般解を求めてから初期値を与える　でしょ」という意識から既に間違ってる感じがする. 一般解を求めるのは, せいぜい「それが求まってると境界条件を満たす解が簡単にわかる」くらいの意味しかなくって, 本当は一般解を求める必要なんかありません. もっというと, 一般解を解析的に求めることができないわけで (特殊な場合として可積分のときには求まる, だっけ?), そうだとすればますます「一般解を求めてから初期値を与える」というのはおかしいです.

お礼

ありがとうございました。
そもそも、
カオス＝解析的な関数でない とは、一概に言えないのですね。

補足

ありがとうございます。
で、話は変わりますが、
一般解を解析的に求めることができない場合でも、
解析的な（正則な関数の）解がある　こともあるのでしょうか？
尚、
＞一般解を解析的に求める、、、可積分のときには求まる。
以下は、僕のブログに、ある方がされたコメントです。
＞
微分方程式が「可積分」とは、「保存量(これを積分と言う)が、一般解が構成できるほど充分沢山、存在する」の意味です。
保存量があると解空間が保存量でクラス分けできますから、完全にクラス分けできるくらいあれば、それを未知係数として一般解になります。
保存量が不足するとクラス分けができず、解空間はごちゃまぜで、一般解はありえません。
＜

回答No.5

Tacosan

「Δxは、微分のパラメータですが、初期値の一部（初期値はx0＋Δx）にもなっている」って....
ここでいう「微分のパラメータ」って何?

補足

すいません。dｘ/dt　ですから、「微分のパラメータ」は、ｔ　ですね。

通常は、微分と初期値　は独立だと思いましたのでこう書きました。
（微分方程式って、一般解を求めてから初期値を与える　でしょ）
当然、通常の場合、
「Lim[Δt→０]Δx/Δｔ のΔxは、十分小さく、初期値の一部（初期値はx0＋Δx）にもなっているとみなす必要は、ない」
です。
しかし、初期値依存カオスの場合、初期値に鋭敏ということですから、
「Lim[Δt→０]Δx/Δｔ のΔxは、初期値の一部にもなっている」とみなすべき
では、ありませんか？

回答No.4

Tacosan

3体問題は決定論的なので, 「初期値を無限精度で与えれば」解は一意です.
といっておくけど.... 正直なところ, #2 に対する補足を読んで「どこまで混乱してるんだろう」と思った.
「ｔ＝０でのテーラ展開＝マクローリン展開の、各項の係数は『ｔ＝０』での(d^nｘ/dｔ^n)/n!　で、ｔがどんなに大きくなっても変わりません。」
はいいんだけど, そのあとの
「したがって、未来永劫、『Δt→０で計算したx0＋Δx→x0の解』で計算されますが」
は明確に間違っていると思います. 初期値を変えてどうするつもりなんですか?
微分方程式の解は初期値に依存する x=x(t) = x(t, x0) であり, これを t のべき級数に展開したときの t^n の係数は (初期値 x0 を固定した)
(∂^nx/∂t^n)/n!
で計算されなければならないのではないでしょうか?
カオスでない場合 (なんていうんだろう) で確認してみてください.

補足

あっ、すいません。『Δt→０で計算したx0＋Δx→x0での解』というのは、
＞　(∂^nx/∂t^n)/n!　で計算されなければならない
同じ意味のつもりなのですが、、、
というのは、(∂^nx/∂t^n)を微分の定義に戻って書くと、一次微分は、
Lim[Δt→０] {(x0＋Δx)-(x0)}/Δt
高次微分も同様、微分可能なら　LimΔt→０において
x0＋Δx→x0　　x0'＋Δx→x0'　　x0''＋Δx→x0''　　、、、
と言え、これから(∂^nx/∂t^n)が出てきます。
で、「それらに１/n!　をかけたもの和」で計算される
というつもりです。
要は、Δxは、微分のパラメータですが、初期値の一部（初期値はx0＋Δx）
にもなっている　と考えているのですが、、、
誤りでしょうか？

回答No.3

ojisan7

No2です。
「摂動法では、、、、次数を高めればさらに近似の精度を高めることができる」というのはｔの小さい範囲でのみいえることです。摂動法はあくまでも近似解法ですので、無理して近似の精度を高めてもあまり意味はありません。それから、「テーラー展開」という言葉を多用していますが、摂動法では、摂動のべき級数展開といった方が正確ですね。
３体問題の摂動では厳密には、摂動の係数εは時間の関数ですから、ｔの大きい範囲まで計算するには、εの値をそのつど変更する必要があります。だから、非可積分系は解析的に解けないというのです。

ご参考までに。

回答No.1

Tacosan

なんとなく「カオス」について混乱しているような気がします.
カオス的な力学系は初期値に関して鋭敏な依存性を示しますが, これは「x = x(t) がテーラー展開できない」ことを意味するものではありません. 実際にはテーラー展開可能 (少なくともべき級数展開は可能) です.
で, 「テーラー展開できるとするとカオスにならない」というのは, おそらく「初期値を厳密に決めればカオスにならない」と言っているのと同じことでしょう.
(カオス的でない力学系でも同じですが) テーラー展開した各項の係数は初期値に依存します. その依存度によって「初期値に関する鋭敏な依存性」や「短期の予測可能性と長期の予測不可能性」といったカオスの特徴が出てくるんじゃないでしょうか.

補足

僕は、「初期値を、どんなに厳密に決めても、３体問題の場合、
可積分でないなら、カオスになる」と思っています。
で、ｔ＝０でのテーラ展開＝マクローリン展開は、
Lim[Δt→０]Σ{ｎ次の(Δx/Δt）}（t^ｎ）/n!
ですから、
＞各項の係数は
「ｔ＝０」での(d^nｘ/dｔ^n)/n!　で、ｔがどんなに大きくなっても変わりません。したがって、未来永劫、一意な値が計算できることになる
ような気がして矛盾を感じるわけです。
ひょっとして、収束半径が「限りなく０に近い」と考えればいいですか？