極限の問題

質問

lim(1-e~(-x))~6 / (sin(x~2)-x~2)
x→0

上記の極限の問題なのですが、前問でテイラー展開を解かせる問題があり、それを使って解くのだと思いますが、分子の最後の６乗があるところでつまづきわかりません誰かわかる方いらっしゃいましたら教えて下さい。お願いします。

補足　　e~(-x)
　　　　sin(x~2)　　　のテイラー展開はできます。
　　　　　　　　　　　根本的に解き方が違うのでしょうか？

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

1 - e^(-x) の Taylor 展開を書いてから 6乗すればいい... んだけど, (分母は x^6 のオーダーなので) 最初の項だけで十分.

お礼

ありがとうございます。
＞(分母は x^6 のオーダーなので) 最初の項だけで十分

ということは極限は　１÷ -1/3 = -3 であっているのでしょうか？

補足

↓下のお礼の欄に書いた答えを間違えましたすいません。

１÷ -1/6 = -6 であっているのでしょうか？

の間違いでした。

回答No.3

aquarius_hiro

こんにちは。

e^{-x} = 1 - x + O(x^2)

ですね。

故に、(1 - e^{-x})^6 = (x - O(x^2))^6 = x^6 (1 - O(x))^6 になりますね。

一方、

sin(x^2) - x^2 = -1/3!・(x^2)^3 + O(x^10)
= -x^6/6 ・(1 + O(x^4))

なので、x→0 の極限で、

(1-e^{-x})^6/[sin(x^2)-x^2] = x^6 (1-O(x))^6/[(-x^6/6)(1+O(x^4))]
= -6 ・(1-O(x))^6/(1+O(x^4)) → -6

と求められますね。

回答No.2

Suue

（１－ｅｘｐ（－ｘ））＾６
のテイラー展開を計算するのが面倒でしたら、

１＝ｅｘｐ（０）　ですので、平均値の定理より、

１－ｅｘｐ（－ｘ）　＝　ｅｘｐ（０）－　ｅｘｐ（－ｘ）
　　　　　＝　ｘ{ｅｘｐ（０）－　ｅｘｐ（－ｘ）}／{０－（－ｘ）}
　　　　　＝　－ｅｘｐ（ｃ）ｘ
（０＜ｃ＜｜ｘ｜）　となる実数ｃが存在します。

これを用いれば、面倒な計算がなくなります。