微分の定義について

質問

大学１回生のものです。

ある本に微分の定義がいくつか載っていて、
その一つに、

関数ｆ(x)が点pで微分可能
　　　　　　⇔適当な実数aと関数g(x)が存在して、

(イ)　f(x)=f(p)+a(x-p)+g(x)

(ロ)　lim{x→p}(g(x)/(x-p))=0

が成立する。

このとき、aをf(x)の点pにおける微分係数という。

とあるのですが、これがどういうことなのかよくわかりません。

テイラー展開かと思ったのですが、もしそうだとすると、微分の定義にテイラー展開を使ってもよいのでしょうか？

ご教授お願いします。

回答No.1

yumisamisiidesu · ベストアンサー

テーラー展開自体微分が定義されてないと使えないと思いますが…

たしかに微分の定義についていくつかの表現の仕方がありますね、これらは同値ですが、大体一変数の微分を定義して、それを同値な式に変形して、多変数の微分の定義に形式的に拡張していく方針をとってると思います．
それからランドウの記法とか使って、またいろいろな表し方をしてると思います

で結局、ご質問の回答はどうなるかというと
一変数の微分の定義
f'(X)=lim(f(X+h)-f(X))/h
x=X+h,p=X(=x-h),a=f'(X)で置き換えると
a=lim(f(x)-f(p))/(x-p)
∴xがpに凄い近いときとてつもなく小さい数εを使っても
　|(f(x)-f(p))/(x-p)-a|<ε
⇔|f(x)-f(p)-a(x-p)|<ε(x-p)

お礼

f(Ｘ)=lim(f(X+h)-f(X))/hを変形したものだったんですね。
ありがとうございました。

回答No.3

Caper

● (イ) の式を変形してみましょう。

　 g(x)/(x-p) = (f(x)-f(p))/(x-p) - a　　… (イ)'

　 このとき、(ロ) が満たされていれば、x → p のとき

　 ((イ)' の右辺) = (f(x)-f(p))/(x-p) - a → 0
　 すなわち、
　 (f(x)-f(p))/(x-p) → a　　　　　　　　… (ハ)
　 となります。

● (ハ) 式を見れば、いかにも微分係数の定義らしいですよね。それなのに、なぜわざわざ (イ) (ロ) の形で微分係数を定義するのかというのが、orangeapple55 さん のご質問の趣旨ですよね。

　 (ハ) の形で定義してしまうと、「 合成関数の微分係数 」を求める際に不備が指摘されてしまうからではないでしょうか。もしそうならば、後に、(イ) (ロ) の両式 に登場する g(x) について、次の定義が加えられるものと思われます。

　 x = 0 のとき g(x) = 0 と定義する。

● そのあたりの厳密な説明は、「 解析学序説 上巻 」( 一松信 著 / 裳華房 刊 ) などになされているようです。
　「 解析学序説 上巻 」( 1981 年・新版 ) では、(イ) (ロ) の両式の形が少し異なりますが … 。

● 以上が的はずれの回答である場合は、ごめんなさい。

お礼

ありがとうございます。
すごくわかりやすかったです。
定義の仕方によって不備が出ることがあるんですね。
紹介の本も読んでみようと思います。
本当にありがとうございました。

回答No.2

Caper

のちに、「 合成関数の導関数 」について学ぶはずです。(イ) (ロ) という表記は、「 合成関数の導関数 」の説明に不備を生じさせないための布石ではないでしょうか。
　まちがっていたら、ごめんなさい。

　後で、私が何か知り得た場合、また回答します。とりあえず、ご報告まで。