微少量の近似について

質問

以前も似たような内容の質問をしたのですが、
またわらからない問題が出てきたので投稿しました。

微少量δxを含む次の式を近似したいと思ってます。
f(δx)=δx*exp(-δx)(1 + 2*δx)

ここで解析のために、できれば右辺のカッコ内のδxについては残したままで、
その手前のexp(-δx)のみを1で近似してやりたいです
（展開してでてくるδx^2はのこしてexp(-δx)を消去したい）。
このような近似は行っても大丈夫でしょうか。δxはだいたい10^-2のオーダーです。

自分で考えろと突っ込まれそうですが、
可能かどうか、理由とあわせて教えてもらえると助かります。

回答No.6

info22

#4です。

A#5の補足について
既に適当な（不適当な）近似をした式に対して、
既に大きな誤差が入っている式を更に近似しても
その近似は、誤差の入った近似式を更に近似するだけで
大元の関数の近似式になるわけではありません。
そういった大元の関数の式を伏せて、質問される事自体
質問として投稿されるのは適当ではありません。
質問者に迷惑をかけるだけです。回答の自体の意味がなくなってしまうからです。

>次の式を一度テイラー展開して出てきたものです。
>g(x)=(1-exp(-x))exp(-x) + 2*(1-exp(-x))^2*exp(-x)
>+ 3*(1-exp(-x))^3*exp(-x)…（◆）
最初から、この式を示して、この式の近似式はどうなるか、といった質問にしていただきたかった。今後はそうして欲しいということです。
近似の微小な変数xをδxと表現することもしません。
0＜x＜10^(-3)などと適用するxの範囲を示せば十分です。

(◆)の式のg(x)を直接マクローリン展開して求めるのが
正しい近似式を求める方法です。
(◆)のg(x)のマクローリン展開は
g(x)＝x+(1/2)x^2+(1/6)x^3-(95/24)*x^4)+ …
となるのでこの式の
第１項から２項目まで、または、３項目までの和の式
g(x)≒x+(1/2)x^2
または
g(x)≒x+(1/2)x^2+(1/6)x^3
が、本来の適切な近似式といえます。

お礼

わかりやすい解説ありがとうございます。
投稿者の数学知識が未熟であるために回答者の
皆さんを混乱させてしまって申し訳ない限りです。
私はテイラー展開による近似手法についてまだ
よく理解できてないようです。

ただ質問自体は

<f(δx)=δx*exp(-δx)(1 + 2*δx)
<ここで解析のために、できれば右辺のカッコ内のδxについては残したままで、
<その手前のexp(-δx)のみを1で近似してやりたいです

これがすべてですので、この式自体がどのように導かれ、
それが正しいかについては回答を望んでいませんし、
式に含まれる近似が不適切であったからといって、それが回答者さんにとって迷惑とまでいわれますと少々気分が悪いです。そのような不利益（未熟な質問にいらいらする）が生じることも理解したうえで個人の趣味で回答者さんは解答されているからと考えるからです。

ただ私自身に関してはもっと数学を勉強する必要があると再確認されました。

補足

改めて見返してみると、少し勝手な物言いでした。
上記のコメントは訂正させてください。

解答していただく以上、きちんとした配慮は必要かもしれません。
ともかくありがとうございました。

回答No.5

htms42

数値については既に回答が出ています。
ちょっと別の面からです。

１番前についているδｘが混乱のもとですね。
このδｘ自体が何かの近似で出てきたものだろうと思います。
そうであればｆ(δｘ)をδｘの１次で近似するということしか意味を持たない事になります。
ｆ(δｘ)～δｘ
です。他の関数と比較して関数ｆの寄与がどの程度かというときにはこれで判断します。

ｆ(δｘ）の第二項目を問題にするのであれば別の関数ｇ(δｘ）と一項目だけでは違いが出てこない場合です。その場合、もし最初のδｘが何かの近似で出てきているのであればその２項目も考慮しないと正しい評価は出来ません。
ｅｘｐ（－δｘ）についても２項目を考慮する必要があります。
そのまま使うか１－δｘとして計算するかです。
（１＋２δｘ）という式も普通は何かの近似式です。３項目（δｘの２乗の項）が小さいとして既に省略されている式です。したがってｅｘｐ(－δｘ)を展開して３項目まで計算してもあまり意味はありません。
どこらあたりの桁に影響が現れて来るかという確認のためには意味があるでしょうが数値自体には意味がないのです。

お礼

皆さんご解答ありがとうございます。
返事が送れて申し訳ありません。
代表してNo.5のかたにレスさせてもらいました。
No.１、２、３さんもありがとうございます。

補足

お礼とあわせてお伺いしたいのですが、
質問の式は、No.5さんがおっしゃられるように、
次の式を一度テイラー展開して出てきたものです。

g(x)=(1-exp(-x))exp(-x) + 2*(1-exp(-x))^2*exp(-x)
+ 3*(1-exp(-x))^3*exp(-x)

これから得られた結果に再度近似を適応するなんて意味がないんじゃないかと思いながら質問してしました。
この式を2次まで評価したうえでexp(-x)を簡単にしてやりたかったのですが

実際にマクローリン展開して２次までとると近時が得られるのだと思うのですが、伺いたいのは近似でexp(-x)を１とおいておきながら
x^2を評価することが意味を持つのかということです。

回答No.4

info22

#2です。
A#2のより精度の高い3項目まで採用した式
>f(δx)≒δx+(δx)^2-1.5*(δx^3)
で最後の項の「（ ）」の「 ）」の位置がずれていましたので
以下と差し替えて下さい。
f(δx)≒δx+(δx)^2-1.5*(δx)^3

おまけにこの3項目まで採用したときの計算精度は
x=10^(-2)と置くと
f(10^(-2))≒0.010098500
真の値f(10^(-2))＝0.010098508304242
誤差は0.00000001未満ですね。

なお、#1さんのA#1の近似式は、#3さんも指摘されているように間違いですね。
多分、exp(-x)とすべき所をexp(x)と早とちりされたのでしょう。
数値を入れて、近似式と真の値を比較すれば誤差が大きく出ますので分かるかと思います。

回答No.3

arrysthmia

exp のテーラー展開は
exp(-ε) = 1 - ε + (1/2)ε^2 - (1/6)ε^3 + …
ですから、
f(ε) = ε・(1 + 2ε)・exp(-ε) = ε・(1 + 2ε)・(1 - ε + εの二次以上の式)
という変形から、
一次近似なら f(ε) = ε + (εの二次以上の式)
二次近似なら f(ε) = ε + ε^2 + (εの三次以上の式)
となります。
f(ε) ≒ ε または
f(ε) ≒ ε + ε^2 であって、
f(ε) ≒ ε + 2 ε^2 はナイでしょう。

回答No.2

info22

f(x)=x*exp(-x)*(1+2x)
をマクローリン展開してやると
f(x)=x+x^2-(3*x^3)/2+(5*x^4)/6 - …
だから,2次の項までで近似すれば
f(x)≒x+x^2
したがって
f(δx)≒δx+(δx)^2
となります。
δx=10^-2とおくと
2次の項までの近似値＝0.0101000
真の値＝0.010098508304242
となり、真の値の小数点以下6桁目を四捨五入してやれば
0.010100
と小数点以下6桁までは一致しますね。
この程度の誤差でよければ「(δx)^2」の項まででいいですね。
それ以上の小さい誤差が要求されるなら「(δx)^3」の項までとって
f(δx)≒δx+(δx)^2-1.5*(δx^3)
とすればいいでしょう。

回答No.1

handarin

テイラー展開してみてはどうでしょう？
exp(x)＝1+x+(1/2)x^2+…+(1/n!)x^n+…　でしたが今回は
exp(x)＝1+(xの1次以上の式)　とでもしておけば十分
すると
f(δx)＝δx(1 + 2*δx)(1+(δxの1次以上の式))
＝δx+2δx^2+(δxの3次以上の式)
δxが十分小さければ(3次以上の式)の部分は2次以下の式と比べて無視できるはずなので
f(δx)≒δx+2δx^2
と思っていいでしょう。
もうちょい精度を上げたければ
exp(x)＝1+x+(1/2)x^2+(xの3次以上の式)
などとして次数を上げてみてもいいと思います。