この1次近似式の問題の求め方を教えてください。

質問

(1)g(Arctanx＋logy)の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式と偏微分係数を求めなさい
(2)f(cosx+Arcsiny)を(x,y)=(a,b)のまわりで1次近似しなさい
(3)Arctan(f(x,y))を(x,y)=(a,b)のまわりでi次近似しなさい
(4)Arcsin(g(x,y,z))を(x,y,z)=(a,b,c)のまわりで1次近似しなさい
(5)f(x,y,z)の(x,y,z)=(a,b,c)のまわりでの1次近似式を書きなさい。
(6)e^(xsiny)の任意点のまわりでの1次近似式を全微分の形式で書きなさい。
(7)x^2×y^3×z^4の任意点のまわりでの1次近似式を全微分の形式で書きなさい

xはエックス、×はかけるの記号です。
わからない問題や、解いてみたけど自信がない問題なんで、式と答えを教えてください。
お願いいたします。
もちろん、全部でなくわかるやつだけでも全然かまいません。
お願いします。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

(1)
対数log(y)を自然対数ln(y)として
g(tan^-1(x)＋ln(y))の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式と偏微分係数
を求める。

u=tan^-1(x)＋ln(y)とおくと

g(tan^-1(x)＋ln(y))(a,b)=g(tan^-1(a)+ln(b))
∂g/∂x=(dg/du)(∂u/∂x)=g'(tan^-1(x)＋ln(y))/(1+x^2)
∂g/∂y=(dg/du)(∂u/∂y)=g'(tan^-1(x)＋ln(y))/y

偏微分係数
∂g/∂x (a,b)=g'(tan^-1(a)+ln(b))/(1+a^2)
∂g/∂y (a,b)=g'(tan^-1(a)+ln(b))/b

一次近似式
∴g(tan^-1(x)＋ln(y))
　≒g(tan^-1(a)+ln(b))+{(x-a)/(1+a^2)+(y-b)/b} g'(tan^-1(a)+ln(b))

(2) f (cos(x)+sin^-1(y))の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式

u=cos(x)+sin^-1(y）とおくと

f (cos(x)+sin^-1(y）)(a,b)=f (cos(a)+sin^-1(b）)
∂f/∂x=(df/du)(∂u/∂x)=-sin(x)f '(cos(x)+sin^-1(y）)
∂f/∂y=(df/du)(∂u/∂y)=f '(tan^-1(x)＋ln(y))/√(1-y^2)

偏微分係数
∂f/∂x (a,b)=-sin(a)f '(cos(a)+sin^-1(b）)
∂f/∂y (a,b)=f '(cos(a)+sin^-1(b）)/√(1-b^2)

一次近似式
∴f (cos(x)+sin^-1(y）)
　≒f (cos(a)+sin^-1(b）)+{-sin(a)(x-a)+(y-b)/√(1-b^2)} f '(cos(a)+sin^-1(b）)

(3) tan^-1(f (x,y))の(x,y)=(a,b)のまわりでの1次近似式

u=tan^-1(v), v=f (x,y)とおくと

tan^-1(f (x,y)) (a,b)=tan^-1(f (a,b))
∂u/∂x=(du/dv)(∂v/∂x)=(∂f (x,y)/∂x)/{1+(tan^-1(f(x,y)))^2}
∂u/∂y=(du/dv)(∂v/∂y)=(∂f (x,y)/∂y)/{1+(tan^-1(f(x,y)))^2}

偏微分係数
∂u/∂x (a,b)=f_x(a, b)/{1+(tan^-1(f(a, b)))^2}
∂u/∂y (a,b)=f_y(a,b)/{1+(tan^-1(f(a, b)))^2}

一次近似式
∴tan^-1(f (x,y))
　≒tan^-1(f (a,b))+{(x-a)f_x(a,b)+(y-b)g_y(a,b)} /{1+(tan^-1(f(a, b)))^2}

(4) sin^-1(g(x,y,z))の(x,y,z)=(a,b,c)のまわりでの1次近似式

u=sin^-1(v), v=g (x, y, z) とおくと

sin^-1(g (x, y, z)) (a, b, c)=sin^-1(g (a, b, c))
∂u/∂x=(du/dv)(∂v/∂x)=(∂g (x,y,z)/∂x)/√{1-(sin^-1(g (x,y,z)))^2}
∂u/∂y=(du/dv)(∂v/∂y)=(∂g (x,y,z)/∂y)/√{1-(sin^-1(g (x,y,z)))^2}
∂u/∂z=(du/dv)(∂v/∂z)=(∂g (x,y,z)/∂z)/√{1-(sin^-1(g (x,y,z)))^2}

偏微分係数
∂u/∂x (a,b,c)=g_x(a, b, c)/√{1-(sin^-1(g (a, b, c)))^2}
∂u/∂y (a,b,c)=g_y(a,b, c)/√{1-(sin^-1(g (a, b, c)))^2}
∂u/∂z (a,b,c)=g_z(a,b, c)/√{1-(sin^-1(g (a, b, c)))^2}

一次近似式
∴sin^-1(g (x, y, z))
　≒sin^-1(g (a, b, c))+{(x-a)g_x(a,b,c)+(y-b)g_y(a,b,c)+(z-c)g_z(a,b,c)} /√{1-(sin^-1(g (a, b, c)))^2}

(5)f(x,y,z)の(x,y,z)=(a,b,c)のまわりでの1次近似式

f (x,y,z)≒f (a,b,c)+(x-a)f_x(a,b,c)+(y-b)f_y(a,b,c)+(z-c)f_z(a,b,c)

(6) z=e^(x sin(y))の任意点のまわりでの1次近似式を全微分の形式

dz=z_x dx+z_y dy={sin(y)e^(x sin(y))}dx +{x cos(y)e^(x sin(y))}dy

(7) u=x^2×y^3×z^4の任意点のまわりでの1次近似式の全微分の形式

du=u_x dx+u_y dy+u_z dz=2x・y^3・z^4 dx+3x^2・y^2・z^4 dy+4x^2・y^3・z^3 dz

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/100ksk.html

お礼

助かりました。
本当に、ありがとうございます。