自然対数の近似

質問

自然対数の逆数の近似
　1/e　≒　(1－1/x)^x
がこのように表されるみたいなのですが，右辺から左辺を求めるには何
を利用して導くことができるのでしょうか？　式自体は見覚えがあるのですが・・・。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

#1です。
補足と訂正です。

> x<<1では(1－1/x)^x≒1　で近似とはいえません。
は正確には
x→0-の時(1－1/x)^x→1
lim(x→0-)(1－1/x)^x＝1
となります。

x→1+の時(1－1/x)^x→0
lim(x→1+)(1－1/x)^x＝0
となります。

lim(x→∞)(1－1/x)^x＝1/e
となるのは 1/x=t と変換して(1-t)^(1/t)をマクローリン展開（t=0でテイラー展開）すれば自明です。
他にもネット上に証明が載っていますので検索してみてください。

お礼

近似式の導出できました。
ありがとうございました。

回答No.1

info22

もう少し良く調べて質問してください。

すべてのxに対して近似とはなりません。
x<<1では(1－1/x)^x≒1　で近似とはいえません。

x>>1の時(1－1/x)^x≒1/e
つまり
x→∞に対して(1－1/x)^x　→　1/e　（極限値）
言い換えれば
x→∞に対してｙ＝(1－1/x)^xはｙ＝1/eに漸近していくということ
です。（ｙ＝1/eが漸近線ということ）