パラメーターが中間のときの近似

質問

5/23に次のような問題が投稿されていました。
　(1/√y) = 2log(x*√y) - 0.8 ...(1)
をyについて解く(対数の底は10)
私ならば次の様にします。
　y = f(x) + g(y) ...(2)
という方程式でg(y)が小さいとみなせるとき、第１近似は
　y1 = f(x)
これを(2)の右辺に代入して、第２近似は
　y2 = f(x) + g(y1)
以下同様に
　y[i+1] = f(x) + g(y[i])
これを逐次代入法と呼びます。(厳密にはこれが正しい解に収束することを示さなければなりませんが)。この方法を使うためにはxが大きいときと小さい時に分ける必要があります。Excelで第10近似まで計算したときの結果を下に示します。

xが小さい時1/√yが小さいとみなせる
　x 　　0.05　　　　0.1　　　　　1　　　　　5
　y 2639.5157　688.81421　12.199135　3.5624
残差 -2.2e-16　-2.4e-14　　-1.9e-5　　-0.61

xが大きい時log(y)が小さいとみなせる
　x 　　5 　　　　10　　　　100　　　　1000
　y 0.4908 0.8265 0.1694847 0.06260594
残差 1.13 -0.017 -9.0e-5 -1.4e-6

残差というのは近似解を元の方程式(1)に代入したときの左辺ー右辺です。さて、ここでやっと問題です。残差を見れば分かるように、また実際に計算してみれば収束の仕方から分かるようにxが１から10ぐらいの中間の値ではどちらの展開も良い結果を与えません。パラメーターが中間の値のときの良い展開の仕方はないものでしょうか。

回答No.3

oshiete_goo · ベストアンサー

＞したがってニュートン法は方程式の線形からのずれが小さいとみなしていることになるのでしょうか。もしそうであるとすれば線形からのずれはどのように評価したらよいのでしょうか。

数値解析の本によくありますが，ニュートン法は２次収束
で，真の解のある程度近くの適切な初期値から出発できれば，誤差はほぼ２乗に比例してで急速に０に近づきます(ある程度適切な初期値でないと勿論失敗します)．

参考URL
http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~taka/asir-book-html/main/node35.html

荒っぽく言えば，曲線ｙ＝f(x)をテイラー展開して，接線を引いて１次の誤差を打ち消す補正項を加えているわけですから，誤差は
ε[n+1]≒(1/2)(f''(α)／f'(α))(ε[n])^2
と見積もられるわけです(上記URL参照)．

もちろん，ニュートン法にも弱点（重解，初期値依存性など）があり，詳しくは数値解析の教科書や詳しい方に譲ります．

参考URL：

http://www.math.sci.kobe-u.ac.jp/~taka/asir-book-html/main/node35.html

お礼

ご回答ありがとうございます。線形に近いということはf''(α)/f'(α)があまり大きくないということですね。ニュートン法の場合αが移動してゆく点に難しさがあるような気がします。定義域の全体に渡ってf''(x)/f'(x)が小さいことを要求するのは厳しすぎ、かといって初期値の点だけでf''(α)/f'(α)が小さいのでは不足でしょう。

回答No.2

oshiete_goo

Newton法で，ｙの初期値を１とした場合，
x＝1のとき６回，x＝10のとき3回程度で収束し(Y＝√yの意味で９桁)，念のため試算の結果のみ記すと

y(x=1)= 12.1987184
y(x=2)= 4.60989992
y(x=3)= 2.785583742
y(x=4)= 2.004975026
y(x=5)= 1.578027059
y(x=6)= 1.310195899
y(x=7)= 1.126815907
y(x=8)= 0.993413051
y(x=9)= 0.891962053
y(x=10)=　0.812152602

となりました．

途中つまらない間違いをしていないかご検証下さい．

回答No.1

oshiete_goo

x＝X，√y＝Yとして
式(1)⇔1／Y＝2log(XY)－4/5
⇔logY－1/(2Y)＋logX－2/5＝０・・・(1')

この式で与えられた任意のX(＝x)に対して，Y(＝√y)が決定できれば良い．

ここでXはパラメータと見て
F(Y)＝logY－1/(2Y)＋logX－2/5
と置くと，Yの増加関数であり，Newton法で方程式F(Y)＝０
を解くのはどうでしょうか．

F'(Y)＝1/(Y・ln10)＋1／(2Y^2)＝(2Y＋ln10)／(2Y^2・ln10)
として
Y[n+1]＝Y[n]－F(Y[n])／F'(Y[n])
となると思います．

単なる思いつきですので，的外れでないかご検討下さい．

お礼

ご回答ありがとうございます。ニュートン法は理論物理学であまり使われていないようですが、もっと利用されても良いかもしれません。方程式の解を展開するためには何かが「小さい」とみなせなければ展開できないと思うのですが、ニュートン法は何を小さいとみなしていることになるのでしょうか。ニュートン法が一発で正しい解を与えるのはどのような場合かを考えてみると、それは方程式が線形である場合であることが分かります。したがってニュートン法は方程式の線形からのずれが小さいとみなしていることになるのでしょうか。もしそうであるとすれば線形からのずれはどのように評価したらよいのでしょうか。