積分正弦関数の近似

質問

∫(sinx/x)dx
の不定積分は
∫(sinx/x)dx = x -x^3/18 + x^5/600 - … (1)

とするとxの小さい所でしか使えません。テイラー展開より広範囲で使える近似としてはPade近似があります。[3/3]型のPade近似を求めてみると
　Si(x) ≒ (900x - 23x^3)/(900 + 27x^2)
となりましたが、これもxの大きい所でそれほど良くはないようです(Pade近似は特異点のある関数の方が適しているのかもしれません)。しかしxの大きい所では
∫(sinx/x)dx = π/2 - cosx/x -sinx/x^2 + 2cosx/x^3 … (2)
という展開があるので(1)と(2)を補間できるような近似があれば最も良いと思います。Pade近似か連分数展開のようなものでこの二つを補間できるような式はできないでしょうか。

回答No.1

masudaya

よくはわかりませんが,
xが小さいときはほとんど１になり,xが大きい時にはほとんど0になる関数h(x)を用いて
(h(x)は両方の式の近似の度合いによって調整下さい)

Si(x)≒((900x - 23x^3)/(900 + 27x^2))*h(x)
+(1-h(x))*(π/2 - cosx/x -sinx/x^2 + 2cosx/x^3 …〉

とすればいいのではないでしょうか?

お礼

御回答ありがとうございます。
　((900x - 23x^3)/(900 + 27x^2))*h(x)
+(1-h(x))*(π/2 - cosx/x -sinx/x^2 + 2cosx/x^3 …〉
とすれば確かにxが小さい時Pade近似になり、xが大きい時漸近展開になりますが、xが小さいときと大きい時の統一的な描像を与えているとは言い難いように思います。xが3から10程度の時、どちらの近似も良くないのでそれをただ線形結合しても良い近似にはならないのではないかと思います。最近、CFTと厳密解の方法を組み合わせて量子臨界現象を弱相関、強相関の領域を含めて定式化できるようになってきているそうです。積分正弦関数も一つの方法でxが小さいときと大きい時の統一的な描像が得られることが望ましいと思います。