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メビウスの輪の ・裏表がない ・180°ひねって作ったメビウスの帯を、帯の真ん中を切断すると、輪　は2つに分かれずに大きな1つの輪になる、この輪は720°ひねられた　状態で表裏が分かれており、つまりメビウスの帯ではない ・帯の幅1/3のところを切断すると、1つの大きな720°ひねられた輪と1　つの小さなメビウスの帯ができる 以外のの性質を教えてください。

どうしても解けない問題があって困っています。アドバイス、ご指導お願い致します！ 【問題】 半径aで中心が点Ａの円、半径bで中心が点Ｂの円があって、この２円が点Ｃで接している。 その点Ｃにおける２円の共通接線上に、点Ｃからの距離hの点Ｐ(ＣＰ＝ｈ)がある。 点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐを結び、ＡＰと(中心Ａの)円の交点を点Ｑ、ＢＰと(中心Ｂの)円の交点を点Ｒとする。 このとき、ＱＲを求め、ｈ→０のときの極限ＱＲ/h^2を求めよ。 という問題ですが、ＱＲがうまく出せずに困っています。ＡＣとＢＣがＰＣと直交していることから面積を使って何か関係式を作れないものか色々試みましたが、出来そうで出来ませんでした。ＱＲが出せればh^2で割るだけなので、極限はでそうですが、、、。 勉強不足ですいません！どうかよろしくお願いします！

どうしても解けない問題があって困っています。アドバイス、ご指導お願い致します！ 【問題】 半径aで中心が点Ａの円、半径bで中心が点Ｂの円があって、この２円が点Ｃで接している。 その点Ｃにおける２円の共通接線上に、点Ｃからの距離hの点Ｐ(ＣＰ＝ｈ)がある。 点Ａと点Ｐ、点Ｂと点Ｐを結び、ＡＰと(中心Ａの)円の交点を点Ｑ、ＢＰと(中心Ｂの)円の交点を点Ｒとする。 このとき、ＱＲを求め、ｈ→０のときの極限ＱＲ/h^2を求めよ。 という問題ですが、ＱＲがうまく出せずに困っています。ＡＣとＢＣがＰＣと直交していることから面積を使って何か関係式を作れないものか色々試みましたが、出来そうで出来ませんでした。ＱＲが出せればh^2で割るだけなので、極限はでそうですが、、、。 勉強不足ですいません！どうかよろしくお願いします！

（問） 男７人女１４人の合計２１人で，４人組が４つ，５人組が１つの５つのグループをつくります。 ４人全てが男のグループが出来る確率は？？？ （当方小学校教諭です。グループつくりをいろいろ考えています） できれば，解説つきでお願いします！！

Ｈ，Ｋ:アーベル群 Ｈ×Ｋ＝｛（ｈ，ｋ）｜ｈ∈Ｈ，ｋ∈Ｋ｝ Ｈ×Ｋ∋ｘ１＝（ｈ１，ｋ１），ｘ２＝（ｈ２，ｋ２） ｘ１＋ｘ２＝（ｈ１＋ｈ２，ｋ１＋ｋ２） この＋に関して、Ｈ×Ｋはアーベル群であることを示したいんです。 アーベル群の定義 （Ｇ，＋）はアーベル群⇔（ⅰ）（ａ＋ｂ）＋ｃ＝ａ＋（ｂ＋ｃ） 　　　　　　　　　　　　（ⅱ）ａ＋ｂ＝ｂ＋ａ 　　　　　　　　　　　　（ⅲ）∃０∈Ｇ　ｓｔ．ａ＋０＝ａ 　　　　　　　　　　　　（ⅳ）Ｇの各元ａに対して 　　　　　　　　　　　　　　　ａ＋ａ´＝０をみたすＧの元ａ´が存在する。 自分の見解としては、上記の定義の合うようにＨ，Ｋかろそれぞれいくつかの元を取ってきて式変形をしていき、Ｈ×Ｋにおいても定義（ⅰ）～（ⅳ）を示していくというものです。しかし、「＋に関して」というところに躓いてしまい証明することが出来ません。 また、定義の（ⅰ）～（ⅳ）全てを証明しなければアーベル群を証明することが出来ないのかというのも疑問です。