テイラー近似式の求め方について

質問

大学の授業でテイラー近似式の求め方を習ったときの板書の記述に、
「関数f(x)を２次関数P(x)で近似するとき、接点のx座標を x = a とすると、P(a) = f(a) であるから
　P(x) = f(a) + (x-a)(xの一次式)　　が成り立つ」
というような部分があったのですが、どうしてこのような式が導き出せるのでしょうか？

また、その授業ではこの後、(xの一次式)をbx+cと置いてからP(x)の式を微分していき、f(x)とP(x)の接点での傾きや２階微分も一致していることから、bとcをaやf'(a)やf''(a)を用いて表して、それをP(x)の式に代入して２次関数による近似式を導いていました。
元の関数と近似式の、接点だけでなく、傾きや２階微分も一致する理由もできれば教えていただきたいです。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

P(a)=f(a)となる2次式は　P(x) = f(a) + (x-a)(xの一次式)　しかないでしょ。
なぜならP(x)は2次式なのだからP(x)-f(a)も2次式だ。
x=aのときP(x)-f(a)=0なのだから，この式はx-aで割り切れるに決まっている。P(x)-f(a)=(x-a)(xの１次式)だな。

> 元の関数と近似式の、接点だけでなく、傾きや２階微分も一致する理由もできれば教えていただきたいです。

近似式なのだから一致して当然だと思うがいかが。
一致しなければそれは近似できていないということで誤差があるのです。どの程度の近似をするかで，どこまで一致するかが決まります。

お礼

回答ありがとうございます。

因数定理だったんですね、おかげで納得できました。
近似式の特徴もよく理解しておきます。

ありがとうございました！