次の２次函数極大・極小の問題が分かりません。

質問

次の２次函数極大・極小の問題が分かりません。

見ていただきありがとうございます。
今つぎの問題が分からないのですが見ていただけないでしょうか？

次の函数f(x,y)を極大にする点(x,y)及び極小にする点(x、y)をそれぞれすべて求めよ。
f(x、y)＝x(-x-y+1)y
です。

色々として候補点は一応求まりました。
(0，0)　(0，1)　(1，0)　(1/3，1/3)
あっているかどうか分かりません。

ここでヘッシアンの公式を用いて判別しました。
ヘッシアンが0ということだけでは極大・極小が判別できないといわれました。

自分で答えを出してみたところ極大・極小ともになしという答えが出たんですが間違っていました。

もし分かるかたがいましたら、回答・解説よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

勾配ベクトルが零ベクトルになる点
(∂f/∂x, ∂f/∂y) = (0, 0) を求めたら、
次に、ヘッセ行列
　　∂^2f/∂x∂x　　∂^2f/∂x∂y
　　∂^2f/∂y∂x　　∂^2f/∂y∂y
を係数とする二次形式を平方完成するんですよ。

まず、
∂f/∂x = (-2x-y+1)y = 0,
∂f/∂y = x(-x-2y+1) = 0
の連立方程式を解いて、
(x, y) = (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1/3, 1/3)。
これらが、臨界点。

ヘッセ行列は、H =
　　-2y　　　　 -2x-2y+1
　　-2x-2y+1　　-2x
だから…

(x, y) = (0, 0) のとき、H =
　　0　　1
　　1　　0
f の二次微小項は、0(dx)^2 + 2(dx)(dy) + 0(dy)^2 となるから、
平方完成して、= (1/2)(dx + dy)^2 + (-1/2)(dx - dy)^2。
この二次形式が非定値だから、(x, y) = (0, 0) は鞍点。

(x, y) = (0, 1) のとき、H =
　　-2　　-1
　　-1　　0
f の二次微小項は、-2(dx)^2 + 2(-1)(dx)(dy) + 0(dy)^2 となるから、
平方完成して、= (-1/2)(2dx + dy)^2 + (1/2)(dy)^2。
この二次形式も非定値だから、(x, y) = (0, 1) も鞍点。

(x, y) = (1, 0) のとき、H =
　　0　　 -1
　　-1　　-2
f の二次微小項は、0(dx)^2 + 2(-1)(dx)(dy) + (-2)(dy)^2 となるから、
平方完成して、= (-1/2)(dx + 2dy)^2 + (1/2)(dx)^2。
この二次形式も非定値だから、(x, y) = (1, 0) も鞍点。

(x, y) = (1/3, 1/3) のとき、H =
　　-2/3　　-1/3
　　-1/3　　-7/3
f の二次微小項は、(-2/3)(dx)^2 + 2(-1/3)(dx)(dy) + (-2/3)(dy)^2 となるから、
平方完成して、= (-1/2)(dx + dy)^2 + (-1/6)(dx - dy)^2。
この二次形式は負定値だから、(x, y) = (1/3, 1/3) は極大点。

極値は、一個あった。