カルダノの解法で困っています

質問

3次方程式　x^3-3x+1=0 において,判別式より異なる３つの実数解を持つ。（微分して極大値極小値の積が負になることからも明らか）
ここで　x=u+v とおいてカルダノの解法を適用すると、自分のやり方では xに虚数解（i)がはいってしまい、条件に適しません。

カルダノの解法を使って、実数解を求めるプロセスを教えていただくのが最良ですが、実数解の値だけでもお教えていただきたい所存です。

回答No.5

banakona · ベストアンサー

まずは、きまじめに解いてみます。

ｔ＝(-1±√3i)/2より、u^3＝(-1＋√3i)/2、v^3(-1－√3i)/2としても一般性を失わない。

　さて、(-1＋√3i)/2の３乗根は、絶対値が(-1＋√3i)/2の絶対値の３乗根、偏角は(-1＋√3i)/2の偏角の１／３。(-1＋√3i)/2の絶対値は１なので３乗根の絶対値も１。(-1＋√3i)/2の偏角θはcosθ＝－１／２、sinθ＝√3/2なので、θ＝１２０＋３６０ｎ。これの１／３だから４０＋１２０ｎ。（普通、偏角の単位はradだけど、分かりやすいので、ここでは度とした。下図も参照）。

つまりｕ＝cos(４０＋１２０ｎ)＋ｉsin(４０＋１２０ｎ)
　ｎは整数だから、３乗根が無数にあるように見えるけど、ｎが３の倍数になると一周するので、実質３個。
　ｕ＝cos４０＋ｉsin４０、cos１６０＋ｉsin１６０、cos２８０＋ｉsin２８０　

　同様にして　ｖ＝cos４０－ｉsin４０、cos１６０－ｉsin１６０、cos２８０－ｉsin２８０　

　で、カルダノの公式において、どのｕが，どのｖに対応するかだけど、

＞　　u^3+v^3=-1 uv=1
　が必要なので、ｕ，ｖは共役でなければならない。

　よってｕ＝cos４０＋ｉsin４０のとき、ｖ＝cos４０－ｉsin４０。
　ｕ＝cos１６０＋ｉsin１６０のとき、ｖ＝cos１６０－ｉsin１６０。
　ｕ＝cos２８０＋ｉsin２８０のとき、ｖ＝cos２８０－ｉsin２８０。

　ｘ＝ｕ＋ｖだから　ｘ＝２ｃｏｓ４０、２ｃｏｓ１６０、２ｃｏｓ２８０が答え（単位は度）。
　具体的には、ｘ＝１．５３２０８・・・、－１．８７９３５・・・、０．３４７２９６・・・
　となるようです。

　横着な方法：上の解法から分かるように、ｕ^3，ｖ^3が実数にならないことが分かった時点で、絶対値と偏角さえ分かれば、虚部はどうでもいいことが分かります。
つまり解は、２×絶対値の３乗根×cos（偏角／３）と２×絶対値の３乗根×cos（偏角／３＋１２０）と２×絶対値の３乗根×cos（偏角／３＋２４０）と分かります（角度の単位は度）。

お礼

今まで分からなかった解を明示していただき、本当にありがとうございました。
1/3乗すると偏角が1/3になることでだいたいつかめました。

uv=1 から共役になることも頷けます。
貴重な時間をお割きいただき、ありがとうございました。

回答No.7

jamf0421

>x^3-1=0 からu^3 は立方根の複素数解ですね。
>極形式であらわすと2π/3 or 4π/3 ですね。

もうNo5さんが答えを出されていますが、なんとなく整理がつかない気持ちになったので書き足します。uv=1でu^3が1の立方根の複素数解であることはO.K.ですね。だからuの絶対値は1で、その逆数であるvも絶対値は１ですね。
v=1/uでu=a+biとすれば、v=1/(a+bi)=(a-bi)/(a^2+b^2)=a-biですからu+vは必ず実数になりますね。
1の立方根の複素数解の角度は120と240ですね。（今度は度数法にします。）
u=cosθ+isinθ
とすれば
u^3=cos3θ+isin3θ
となり、この3θが120+360n, 240+360nに対応するわけですね。そしてvはその複素共役です。だからu+v=2cosθです。
この時点でNo5さんほどスマートでないですが、
θ=40+120n, 80+120nをn=0,1,2について当てはめて計算すると、0.3473、1.532、-1.8794が出てきます。

お礼

当初　u=(a+bi)^(1/3),v=(a-bi)^(1/3) となってたのでxは虚数解かとか思ってましたが極形式の考え方とド・モアヴルの公式の利用でよく分かりました。
なんかまんねりですが、ありがとうございました。

回答No.6

banakona

＃５です。訂正と補足。
　　訂正（２行目）：（誤）v^3(-1－√3i)/2としても　　（正）v^3＝(-1－√3i)/2としても

　　補足：カルダノの公式では、３乗根の前にωの何とか乗が掛かっていると思いますが、これが前回投稿の＋１２０や－１２０に相当します（－１２０は明示なし）。この部分を「共役でなければならない～～」で片付けました。

回答No.4

Tacosan

#2 のさらに補足:
分解方程式が
・2つの異なる実解を持つ→1実解+2虚解
・重解→(実の) 重解を持つ
・虚解→3つの異なる実解
となることがわかります.
実際「2+11i の 3乗根ってなんやねん」とかやってたらしいですし.

お礼

詳しい回答ありがとうございます。

回答No.3

jamf0421

最初のステップで
u^6+u^3+1=0
からu^3が複素数になって出てくるから諦めたただけではないですか？
u^3は1の立方根の複素数解ですね。複素平面でθ=2π/3とθ=4π/3の角度です。それを知った上でv^3=1/u^3と合せてu+vをこつこつ計算すると複素数の部分は消えるとおもいます。

お礼

x^3-1=0 からu^3 は立方根の複素数解ですね。
極形式であらわすと2π/3 or 4π/3 ですね。

回答No.2

arrysthmia

←No.1 補足

それでよい。
カルダノの方法は、方程式が３実解を持つとき、
補助方程式の解が虚数になる。
u, v が実数であれば、もとの方程式には虚数解
がある。

この話から、虚数は世間に受け入れられていった。

お礼

この話から虚数は世間に受け入れられていった。

ですよねぇ。そう本にも書いてあったんですが、、、
解は何なのですか？虚数が入った（複素数っていうんですかね）を1/3乗するわけで、計算してみたら整数解はもたないみたいです。皆さんの回答嬉しいんですが、答（解）を教えてください。

回答No.1

reiman

あなたの解法プロセスを詳細に補則に書いてください。
そうすれば誰かが答えはともかく間違いを指摘してくれるでしょう。

補足

ありがとうございます。
x^3-3x+1=0
x=u+v とおいて変形すると　u^3+v^3+1+3(u+v)(uv-1)=0 u+v≠0
★u^3+v^3+1=0 uv-1=0 を満たすu,v は解足り得る。←ここよく分からないが暗記するぐらいまでは考え覚えた。
u^3+v^3=-1 uv=1 u^3v^3=1
u^3,v^3 を解とする２次方程式　t^2+t+1=0 を解くと　t=(-1±√3i)/2

って感じですけど。。。