酪農学園大学の問題について。

質問

f(x)=x^3-6ax^2-36a^2x+b について、極大値と極小値の差が27/2のとき、aの値を求めよ。

・・・・・という問題で、
極大値と極小値の関係は解と係数の関係を利用すればいいと教わったことがあるので、

f(x)=x^3-6ax^2-36a^2x+b
f'(x)=3x^2-12ax-36a^2
f'(x)=0 の判別式をＤとすると、
D/4=36a^2+108a^2=144a^2
極地をもつから、D＞0より
144a^2>0
よって、a<0,0<a　　つまり、aキ0
x^3-6ax^2-36a^2x+b=0 の異なる2つの実数解をα、β（α＜β）とおくと、
解と係数の関係より、
α+β＝4a, αβ＝-12a^2
極大値と極小値の差が27/2であるから、
|f(α)-f(β)|＝27/2

・・・・というように解いて、
絶対値をはずそうとしたのですが、
大小関係がよくわからないのでここからどのように答えを導いていくかがよくわかりません。
そこの所を教えてください。よろしくお願いします。
（ちなみに答えは　a= 3/8,-3/8 です。）

回答No.3

age_momo · ベストアンサー

f'(x)=3x^2-12ax-36a^2=0
x^2-4ax-12a^2=0
(x-6a)(x+2a)=0
x=6a,-2a

この場合はこれでいいです。でも因数分解できない時は質問者さんが書かれている
解と係数の関係から求めればいいです。試しにこの問題でもやってみましょう。

f(x)=x^3-6ax^2-36a^2x+b=(x-2a)(x^2-4ax-12a^2)-32a^2x-24a^3+b

f(α)-f(β)=32a^2(β-α)=27/2　　∵α^2-4aα-12a^2=β^2-4aβ-12a^2=0
64a^2(β-α)=27

α+β＝4a, αβ＝-12a^2より
(α-β)^2=(α+β)^2-4αβ=64a^2
α-β=±8a
代入して

a^3=±27/8^3
a=±3/8
a>0よりa=3/8

x^2-4ax-12a^2=0を使って簡単にすればすぐ解けますよ。

回答No.4

kkkk2222

(やや牛刀）（入試に使用多分不可）（検算用）

bは無関係なので省略します。
f(x)=x^3-6ax^2-36a^2x
f'(x)=3x^2-12ax-36a^2
=3(x^2-4ax-12a^2)
=3((x-6a)(x+2a)=0
x=6a,-2a
α=-2a....β=6a

a>0のとき
(3/6)(β-α)^3)=27/2
(3/6)(6a+2a)^3)=27/2
(3/6)*8^3*a^3=27/2
(1/2)*8^3*a^3=27/2
a^3=(3^3)/(8^3)
a=3/8

a<0のとき
((3/6)(-2a-6a)^3)=27/2
a^3=-(3^3)/(8^3)
a=-3/8
ーーー
理由1
F(β)-F(α)=∫[α,β]A(x-α)(x-β)dx=(-A/6)((β-α)^3)
F(x)は、ご質問のf(x)に対応し、
A(x-α)(x-β)はf'(x)に対応しています。
Aは　aに対応です。
理由2
∫[α,β]A(x-α)(x-β)dx
=A【(1/2)((x-α)^2)(x-β)[α,β]-(1/2)∫[α,β]((x-α)^2)dx】
=A(-1/2)(1/3)((x-α)^3)[α,β]
=(-A/6)((β-α)^3)
正負が微妙に変更されています。
ーーーー

回答No.2

take_5

絶対値を付ける必要はないですよ、極大値＞極小値ですから。

回答No.1

jamf0421

aは実数ですね。f'(x)を普通に解いて根を出されてはいかがです。
x=6a, -2aですね。
もとのf(x)の式は右上がりの3次曲線ですね。よって小さい方の根が極大値を与えますが、a>0なら-2a、a<0なら6aが極大を与えますね。
これらをもとのf(x)に代入して差をとればa^3についての分数の答えをえます。ひとにらみで実数の答えの検討はつくと思います。つかなければ素因数分解です。
以上もっとも野蛮な方法かも知れませんが...