距離空間の完備

質問

距離空間（Ｘ、ｄ）＝Ｒでコーシー列｛Ｘｎ｝がＲの元に収束すればＲは完備となることを示せ。
なんですがコーシー列は収束列⇔Ｒは完備距離空間は同値なんですよね？ってことはコーシー列は収束列であるってことを示せばいいだけなんですか？
もし違っていたら詳しい説明をお願いします。

回答No.3

yumisamisiidesu

>コーシー列｛Ｘｎ｝がＲの元に収束すれば
という部分は
>コーシー列｛Ｘｎ｝がXの元に収束すれば
ということでしょうか？

コーシー列⇒収束列の証明は
0<ε<1,|xn-xm|<ε⇒xn=xmでいいんじゃないでしょうか

回答No.2

yumisamisiidesu

完備の普通の定義は質問者様の言うとおりでいいかもしれませんが、それを証明しろという問題があるなら、その教科書で特別に別の定義があるかもしれません
完備の場合はどうか分りませんが、たまに定義の仕方がいくつもあるものがあります
(ex 実数の連続性の公理など)

補足

すいません。離散空間でした…
離散空間：ρ（ｘ、ｙ）＝｛０（ｘ＝ｙ）、１（ｘ≠ｙ）｝なのでコーシー列｛xn｝＝１、…、０、１、…となり１に収束するのでこの空間は完備である。
でどうでしょう？

回答No.1

yumisamisiidesu

完備の普通の定義は質問者様の言うとおりでいいかもしれませんが、それを証明しろという問題があるなら、その教科書で特別に別の定義があるかもしれません
完備の場合はどうか分りませんが、たまに定義の仕方がいくつもあるものがあります
(ex 実数の連続性の公理など)