物理で応用される無限積分の式

質問

∫[－∞ to ∞]exp[－(ax^2＋bx)]dx
＝√(π/a)exp{b^2/(4a)}
ただし、aとbは複素定数とする。

この有名っぽい(∵よく見かける)公式を証明して頂きたいです。証明の途中に図を使われる場合は図がかけないのでどんな図を使うかを言葉で説明していただければありがたいです。

　注：ちなみに、aが正の実数でb＝iy(yは複素数)のときは複素積分とフーリエ変換の性質を使って自分で証明できます。
　ところが、aとbが複素定数(特にaが複素定数)の場合にはどうすればよいのかよく分かりません。

　よろしくお願いしますm(__)m

回答No.1

h3weier · ベストアンサー

「aが正の実数」の場合に還元すれば良いでしょう。
　z＝√a(ｘ＋b/2a)と変数変換すれば
　　求める積分＝exp[b^2/(4a)]/√a∫exp[-z^2]dz
但し、ここで積分路は複素平面上での斜めの直線z=-b/2a-t√a　---(1)
　　　(t:実数　-∞<t<+∞)全体となります。
　これが積分経路を実軸全体にしたものに等しいことが証明出来ればOK。

後はお決まりのコースですが、√a=|a|exp(iβ)　(0<β<2π)として
　　-R/|a|<t<R/|a|の間の積分＝∫[-R<x<R]exp[-x^2]dx+∫[0<θ<β]exp[-(Rexp(iθ)^2]iRexp(iθ)dθ+∫[π<θ<π+β]exp[-(Rexp(iθ)^2]iRexp(iθ)dθ
ここで、第2項と第3項(円弧部分での積分)を評価すれば、
　　｜第2項｜<=R∫[0<θ<β]exp[-R＾2×β]＝βRexp[-R＾2×β]
　　　　　と評価出来て、R→∞のとき→0
　　　　　第3項についても同様に→0。
　以上より、R→∞のとき、左辺→∫[-∞<x<∞]exp[-x^2]dx
　　　　　　　　　(これが√πに等しいことは既知としました)
　　とすれば良いのではないでしょうか。
　　(計算間違いがあったらすみません）

お礼

ありがとうございました。分からない部分があったので解説お願いします。

補足

＞但し、ここで積分路は複素平面上での斜めの直線
z=-b/2a-t√a　---(1)

この式がちょっとよく分からないです。
z＝√a(x+b/2a)の式からどのように(1)の式になるのですか？補足回答よろしくお願いします！

回答No.5

mmky

#3の続きです。特別なケースということで追加の参考程度まで。
（#4のsiegmund先生が指摘されているように、一般的な複素定数では難しす
ぎますね。）

(2) a≡ia, b≡b＞0 (aが純虚数,bが実数の場合）
(以下虚数表示(i)を外に出すので、a>0,bの実数として）
∫[－∞ to ∞]exp[－(iax^2＋bx)]dx
=∫[－∞ to ∞]exp[－(iax^2＋bx)]dx
=∫[0～∞]{cos(ax＾2)+isin(ax＾2)}exp(-bx) dx
｛exp(-bx)の項がx→-∞で発散するので、[0～∞]の条件でのみ解がある。｝

(3) a≡ia, b≡ib (a>0,bが純虚数の場合）
(以下虚数表示(i)を外に出すので、a,bは実数として）
∫[－∞ to +∞]exp[－i(ax^2＋bx)]dx
=∫[－∞ to +∞]exp[－i{a(x＋b/2a)＾2-b＾2/4a}dx
=exp(ib＾2/4a)∫[－∞～+∞]{cos{a(x＋b/2a)＾2}+isin{a(x＋b/2a)＾2}}dx
=expi(b＾2/4a){√(π/2a)+i√(π/2a)} 　（*1）
={cos(b＾2/4a)+isin(b＾2/4a)}{√(π/2a)+i√(π/2a)}
=√(π/2a){cos(b＾2/4a)-sin(b＾2/4a)}
+i√(π/2a){cos(b＾2/4a)+sin(b＾2/4a)}

（*1）証明
∫[－∞～+∞]{cos{a(x＋b/2a)＾2}+isin{a(x＋b/2a)＾2}}dx
(x＋b/2a)=y dx=dy
∫[－∞～+∞]{cos{a(x＋b/2a)＾2}+isin{a(x＋b/2a)＾2}}dx
=∫[－∞～+∞]{cos(ay＾2)+isin(ay＾2)}dy
｛ｆ(z)=exp(-az＾2) と置き,∫[0～+∞]exp(-az＾2)dz を
π/4の扇形の積分路で計算する。｝
∫[0～+∞]cos(ay＾2)=∫[0～+∞]sin(ay＾2)=(1/2)√(π/2a)

ミスがあるかも知れませんが、蛇足の参考程度ということで

お礼

場合わけによる説明有難うございました。

補足

今考えている問題は、変数変換により
a≠0のとき
「∫exp(－z^2)dzを
z＝√at+b/2√a (a≠0，－∞<t<∞)の経路上で積分せよ。」
という問題に帰着しました。

回答No.4

siegmund

簡単に b=0 としておいてもそんなに簡単な問題ではないような気がします．

そもそも， a が負の実数のときに
(1)　　∫[－∞ to ∞]exp(－ax^2)]dx
が発散するのは明らかでしょう．
(2)　　a = α+iβ
とすると，問題の積分は
(3)　　∫[－∞ to ∞] exp(－αx^2) exp(-iβx^2) dx
　　　　= ∫[－∞ to ∞] exp(－αx^2) cos(βx^2) dx
ですが(sin の方は対称性で落ちる)，
明らかに
(4)　　α>0　　　(すなわち Re(a)>0)
であることが積分が収束するための条件ですね．

αは変数変換で追い出せますから
(5)　　∫[－∞ to ∞] exp(-x^2) cos(γx^2) dx
が積分の本質ですが，さてこれは難しい．
cos のところが cos(γx) の形なら Laplace の積分と呼ばれる
結構有名な積分ですがね～
(というか，質問の積分の a が正数，b が純虚数の場合に帰着される)．

で，岩波の数学公式集をめくってみたらありましたね～．
第Ｉ巻，p.233 に
(6)　　∫[0 to ∞] exp(-x^2) cos(x^2 tan θ) dx
　　　　= [(√π)/2] √(cos θ) cos(θ/2)　　　ただし |θ| < π/2
と書いてあります．
もちろん，(5)のγが tanθ になっているわけです．
あとは，積分区間で２倍ですか．

さて，(6)はどうやって導くのか，私にはちょっとわかりません．

とりあえず，b=0 の場合は解決したということで．

お礼

ありがとうございました。b＝0の場合で考えるとa＜0で発散するのが一目瞭然ですね。

補足

変数変換によりこの問題はa≠0のとき
「∫exp(－z^2)dzを
z＝√at+b/2√a (a≠0，－∞<t<∞)の経路上で積分せよ。」
という問題に帰着しました。

回答No.3

mmky

参考程度まで

(1) a>0, b≡ib (この場合、a>0　のみが条件）
∫[－∞ to ∞]exp[－(ax^2＋ibx)]dx
=2*∫[0～∞]exp(-ibx)*exp(－ax^2)dx
=2*∫[0～∞](cosbx+isinbx)*exp(－ax^2)dx
→2*∫[0～∞]{cosbx}*exp(－ax^2)dx
=√(π/a)exp(-b＾2/4a)

証明
∫[0～∞]exp(－az^2)dz
y
|
（D）???????????(ib/2a)??????????（C）
--☆-----------|------------☆

（A）????????????????????????（B）
--☆-----------|------------☆----x
(-L)??????????(0)?????????????(+L)
(積分路：箱型）

∫{C}f(z)dz=∫{AB}+∫{BC}+∫{CD}+∫{DA}=0
（L→∞）∫{BC}→0、∫{DA}→0
∫{C}f(z)dz=∫{AB}+∫{CD}=0
∫{CD}=∫[+L～-L]exp-a(x+ib/2a)＾2dx
=∫[+L～-L]exp(b＾2/4a)exp-(ax＾2+ibx)dx
=-exp(b＾2/4a)∫[0～+L]{exp(-ax＾2-ibx)+exp(-ax＾2+ibx)}dx
=-2exp(b＾2/4a)∫[0～+L]{cosbx}exp(-ax＾2)dx
∫{AB}=2∫[0～+L]exp(-ax＾2)dx
[L→∞]
∫{AB}+∫{CD}=2∫[0～∞]exp(-ax＾2)dx
-2exp(b＾2/4a)∫[0～∞]{cosbx}exp(-ax＾2)dx=0
∫[0～∞]{cosbx}exp(-ax＾2)dx=
exp(-b＾2/4a)∫[0～∞]exp(-ax＾2)dx=(1/2)√(π/a)exp(-b＾2/4a)

参考になりますか？

お礼

a>0の場合の証明をして下さったんですね。
ありがとうございました。

補足

変数変換によりこの問題はa≠0のとき
「∫exp(－z^2)dzを
z＝√at+b/2√a (a≠0，－∞<t<∞)の経路上で積分せよ。」
という問題に帰着しました。

回答No.2

h3weier

回答No.1の訂正：式(1)は、z＝√a(t＋b/2a)　(-∞<t<∞)　が正解ですね。
　　　　積分路は複素平面上でb/2√aを通る直線になります。
　　すみませんでした。後半も修正が必要になりますが、exp[-z^2]という強力な収束因子がある為に、積分路を変更した時に、「迂回部分での積分値→0」がポイントになります。
(※)
　a,bが実数のときは重積分を用いた方が楽です：
　　求める積分＝exp[b^2/(4a)]/√a×∫exp[-a(x+b/2a)^2]dx
　　ここで、I≡∫exp[-a(x+b/2a)^2]dx　とおくと、
　　I^2＝∫exp[-a(x+b/2a)^2]dx×∫exp[-a(y+b/2a)^2]dy
＝∫∫exp[-a{(x+b/2a)^2+(y+b/2a)^2]dxdy　(重積分)
　　　　積分範囲は[-∞,+∞]×[-∞,+∞]です。
　　そこで、x=-b/2a+rcosθ,y=-b/2a+rsinθ と(-b/2a,-b/2a)中心の極座標に変換すると、
　　　dxdy＝rdrdθ (Jacobi行列式で考える)に注意して、上式より
　　I^2＝∫dθ∫dr・rexp[-ar^2]
積分範囲は、0<θ<2π,0<r<∞　であり、r=s^2と置換すれば、
　　I^2＝2π×(1/2)×(1/a)＝π/a
∴　I＝√(π/a)　　が得られます。
　但しこのやり方でも、a,bが実数でないときは積分路の変更に関わる論議をしなければならないでしょう。　意外と面倒ですね。

お礼

a,bが実数の場合で証明してくださりありがとうございました。＃１の問題で質問したいことがありましたので、補足に書いておきます。お願いします！

補足

変数変換によりこの問題はa≠0のとき
「∫exp(－z^2)dzを
z＝√at+b/2√a (a≠0，－∞<t<∞)の経路上で積分せよ。」
という問題に帰着しました。

　この積分経路を実際に複素数平面上に図示すると、直線はb≠0のときは原点を通らず、
直線の動き方が、Re(a)>0の場合は左から右へ、
Re(a)＝0かつRe(b)>0の場合は下から上へ、
Re(a)＝0かつRe(b)<0の場合は上から下へ
Re(a)<0の場合は右から左へ動く事が分かりました。

　さて、大きく分けてこの４通りに分かれましたが、ここからがよく分からなくなってしまいました。ここからの解説お願いします！！