にゃんこ先生の自作問題、複素数係数の2次方程式が実数解をもつ条件は？

質問

にゃんこ先生といいます。

実数係数の2次方程式が実数解をもつ条件は、判別式が0以上です。

複素数係数の1次方程式ax+b=0が実数解をもつ条件は、複素平面で、a,b,0が同一直線上にあることです。

では、複素数係数の2次方程式が実数解をもつ条件はにゃんでしょうか？

ずっと考えているのですが、よくわかりません。

回答No.9

fusem23

判別式のようなものがお望みでしょうか。

簡単のために、２次の係数は１とします。
x^2+Bx+C=0
実数×実数＝実数ですので、Bが実数でCが複素数なら、実数解はありません。
Bが複素数でCが実数なら、実数解はx=0の必要があり、C=0です。
つまり、BもCも複素数でないなら、即座に判別可能です。

１次と０次の係数が複素数の場合を考えます。
x^2+(a+bi)x+(c+di)=0
xが実数であれば、次の式が成り立ちます。
x^2+ax+c=0 …(1)
bxi+di=0, bx+d=0, x=-d/b …(2)
(2)を(1)に代入し
(-d/b)^2+a(-d/b)+c=0
d^2/b^2-ad/b+c=0
bは0でないから、b^2を掛けて
d^2-abd+cb^2=0
＃もう一つの解は、実数にはなりません。

なお、先ほど除外した２つの条件は、この式からも出てきます。

回答No.7

catshoes01

No1.　完全にまちがえました。撤回します。

回答No.6

take_5

又、書き込みミス。。。。。笑

＞aとbを実数、iを虚数単位とするとき、2次方程式：x＾2+（a+b*i）x+（b+a+i）＝0が重解を持つ条件を求めよ。

　　　　　　　　　↓

aとbを実数、iを虚数単位とするとき、2次方程式：x＾2+（a+b*i）x+（b+a*i）＝0が重解を持つ条件を求めよ。

蛇足だが、xが実数とは限らないから。。。。。。笑

回答No.5

take_5

＞ただ，判別式的な条件は期待できないと思う．

常にではないが、そうとは限らない。
係数が複素数の場合は判別式による解の虚実の判別は出来ないが、係数が複素数でも、重解（常に実数の重解とは限らないが）を持つ条件は判別式＝0として良い。
下の問題を解いてみるとわかるだろう。

aとbを実数、iを虚数単位とするとき、2次方程式：x＾2+（a+b*i）x+（b+a+i）＝0が重解を持つ条件を求めよ。

aとbの解の組み合わせは4つあるが、そのうちでa＝b＝0の時　x＝0となり実数の重解を持つ。
ちょっと例外的な問題だが、“必ずしも判別式が使えない”事はない。

ついでに、先ほどの書き込みに書き込みミスがあり訂正する。

＞従って、x＝1という実数解を持つ。つまり、実数部と虚数部が共通解を持てば良い。　　　

　　　　　　　　　↓

従って、x＝2という実数解を持つ。つまり、実数部と虚数部が共通実数解を持てば良い。

回答No.4

kabaokaba

前言撤回・・・なさけない＞自分
No.2氏の通りだ．

実数解xをもつならば
実部と虚部でそれが共通解になるし，
逆に
実部と虚部で「実数の共通解」を持てば
それが元の実数解になるだけだ．

これにはかなり凹んだ・・・・orz
ただ，判別式的な条件は期待できないと思う．

回答No.3

kabaokaba

>複素数係数を持つ２次方程式は必ず１個の実数解を持ちます。

え？
(x-i)(x-2i)=0は？
参照先でも複素係数で実数解のないものがでてるけど・・・

本題．
複素係数の場合，すっきりとはでてこない．
ax^2+bx+c=0の判別式D=b^2-4acが問題になる．
D=re^{iθ}とした場合
D^{1/2} = ±r^{1/2}e^{θ/2} だから
x=(-b±r^{1/2}e^{θ/2})/2a
となる．これに実数が含まれる条件は
すっきりとは書けない
仮にθが0や2πであっても，b+D^{θ/2}とaの偏角が問題になる．
偏角は複素数の和とはすっきりした関係がない．

＃ところで放物線の相似はどうなった？
＃＃ついでに・・・これの一体どこが自作問題なんだ？

回答No.2

take_5

簡単な事なんだけどね。

例を上げて説明しよう。
（1+i）x＾2-（3+i）x＋（2-2i）＝0において。iは虚数単位。
実数部と虚数部に分けて整理すると、{x＾2-3x+2}＋i{x＾2-x-2}＝（x-2）*{（x-1）＋i（x+1）}＝0‥‥(1).
従って、x＝1という実数解を持つ。つまり、実数部と虚数部が共通解を持てば良い。

お礼

いいアイデアをありがとうございます。

回答No.1

catshoes01

複素数係数を持つ２次方程式は必ず１個の実数解を持ちます。
条件というよりはその過程を求めるとそのようになります。
（私の解釈でまちがいがなければです）
式の表示は複雑なので省略しますが・・・。
参考URLを記します。
http://www.hyogo-c.ed.jp/~amaoda-hs/srk/19nendokenkyu/kyosuufivonatch.pdf