積分∫[-∞,∞]cosbx*exp(-ax^2)dx

質問

タイトルの実定積分を複素積分を利用（留数定理等）して行いたいのですが、上手くいきません。
　a=const>0,b=const,ガウス積分利用可です。

　フーリエんとこ勉強していたのですが、
形的には∫[∞,∞]exp(-ikx)*f(x)dxが一般的な形ではないかと・・
f(x)=exp(-ax^2)の場合です。

よろしくお願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

面倒なことを無視して、ただ計算すればいいだけなら、
∫[-∞,∞]cosbx*exp(-ax^2)dx
= Re[∫[-∞,∞]exp(-ax^2+ibx)dx]
= Re[∫[-∞,∞]exp(-a(x-ib/(2a))^2 - b^2/(4a))dx]
= √(π/a) * exp(-b^2/(4a))
です。

お礼

回答誠にありがとうございます。確かにそうですね（＾＾）。

複素積分を利用した方法で解けとの要請がありましたので・・（汗
上手い積分経路があると思うんですが・・どうなんでしょう・・。

また機会があればよろしくお願いします。