積分

質問

積分の問題ですが，置換積分など試行錯誤してるのですがうまく積分ができません

∫(1-exp(-2ax))/(1+exp(-2ax))dx

（aは任意定数，expはネイピア数）

です。
よろしくお願いします。

回答No.3

ferien · ベストアンサー

積分の問題ですが，置換積分など試行錯誤してるのですがうまく積分ができません

∫(1-exp(-2ax))/(1+exp(-2ax))dx

＞（aは任意定数，expはネイピア数）
置換積分でできます。
ｔ＝ｅ＾(-2ax)とおくと、
ｅ^(-2ax)・（－２ａ）ｄｘ＝ｄｔより、ｄｘ＝（－１／２ａ）（１／ｔ）ｄｔ
∫(1-exp(-2ax))/(1+exp(-2ax))dx
＝(1/2a)∫（ｔ－１）／ｔ（１＋ｔ）ｄｔ
＝(1/2a)｛∫（２／（１＋ｔ））ｄｔ－∫（１／ｔ）ｄｔ｝
＝(1/2a)２log｜１＋ｔ｜－(1/2a)log｜ｔ｜＋Ｃ
＝(1/2a)・２log（1+exp(-2ax))－(1/2a)log(exp(-2ax))＋Ｃ
＝(1/a)log（1+exp(-2ax))＋ｘ＋Ｃ

でどうでしょうか？

回答No.4

dennchan

こんな解き方はどうでしょう？

　被積分関数の、分子分母に、exp(ax) をかけます。

与式＝∫(exp(ax)-exp(-ax))/(exp(ax)+exp(-ax))dx
　　　＝(1/a)・log(exp(ax)+exp(-ax)) +C

回答No.2

rnakamra

{1-exp(-2ax)}/{1+exp(-2ax)}=1-2exp(-2ax)/{1+exp(-2ax)}
とわけちゃえば簡単です。分子の"1"を分数から追い出してしまえばよいのです。

-2exp(-2ax)/{1+exp(-2ax)}=(1/a)*{1+exp(-2ax)}'/{1+exp(-2ax}
ですのでこの積分もわかると思います。

回答No.1

151A48

t=e^-2ax　とおきかえて
(-1/2a)(1/t)dt

与式=(-1/2a)∫{(1-t)/(1+t)}(1/t)dt=(-1/2a)∫{(1/t)-(2/(t+1)}dt