ヒントだけ書いたのは、貴方自身に解いて欲しかったからなのですが…
残念だけど、解答も書いときます。 基本的に、ゴリ押しです。
1)
先述の答えで終わり。p(u) が何だか決まらないと、式変形はできない。
2)
Φ(x1,x2) = ∫[a,x1](x1-u)p(u)du + ∫[x1,c](u-x1)p(u)du + ∫[c,x2](x2-u)p(u)du + ∫[x2,b](u-x2)p(u)du
を x1 で微分して、
(∂/∂x1)∫[a,x1](x1-u)p(u)du = (x1-x1)p(x1) + ∫[a,x1]p(u)du,
(∂/∂x1)∫[x1,c](u-x1)p(u)du = -(x1-x1)p(x1) + (1/2)(c-x1)p(c) - ∫[x1,c]p(u)du,
(∂/∂x1)∫[c,x2](x2-u)p(u)du = -(1/2)(x2-c)p(c),
(∂/∂x1)∫[x2,b](u-x2)p(u)du = 0
より、
(∂/∂x1)Φ(x1,x2) = ∫[a,x1]p(u)du - ∫[x1,c]p(u)du.
この微分を行うには、合成関数の微分法を使った。(式中に何回も x1 が出てくるため。)
多変数関数 f(x,y) に対して、(d/dz)f(x,y) = (∂f(x,y)/∂x)(dx/dz) + (∂f(x,y)/∂y)(dy/dz)
なので、x = y = z のときは (d/dz)f(z,z) = fx(z,z) + fy(z,z) となる。
c = (x1 + x2)/2 であることを忘れずに、これを Φ(x1,x2) に適用すれば、
上記のように計算できる。
また、同様に、
(∂/∂x2)Φ(x1,x2) = ∫[c,x2]p(u)du - ∫[x2,b]p(u)du.
以上により、
(∂/∂x1)Φ(x1,x2) = (∂/∂x2)Φ(x1,x2) = 0 は
∫[a,x1]p(u)du = ∫[x1,c]p(u)du, ∫[c,x2]p(u)du = ∫[x2,b]p(u)du と書ける。
散文的に表現すると、
「両施設を利用する人口分布が、x1, x2 それぞれの a側と b側でつりあっていること」
とでも言えるかな? 文章の良し悪しは別として、式としては、そういうこと。
3)
a = 0, b → ∞, p(u) = e^(-λu) であれば、2) の条件は
(-1/λ)e^(-λx1) - (-1/λ)1 = (-1/λ)e^(-λc) - (-1/λ)e^(-λx1),
(-1/λ)e^(-λx2) - (-1/λ)e^(-λc) = (-1/λ)0 - (-1/λ)e^(-λx2)
となる。
y1 = e^(-λx1 /2), y2 = e^(-λx2 /2) と置いて整理すると、
2(y1)^2 - y1 y2 = 1,
2(y2)^2 - y1 y2 = 0.
y1 > 0, y2 > 0 の下にこれを解くと
y2 = 1/√6, y1 = 2/√6 となり、対数をとって
x1 = (log 3 - log 2)/λ, x2 = (log 3 + log 2)/λ.
4)
Φ(x1,x2) の二次導関数は
(∂/∂x1)^2 Φ(x1,x2) = p(x1) - { (1/2)p(c) - p(x1) },
(∂/∂x2)^2 Φ(x1,x2) = { p(x2) - (1/2)p(c) } - { - p(x2) },
(∂/∂x1)(∂/∂x2) Φ(x1,x2) = - (1/2)p(c).
だから、
x1 = (log 3 - log 2)/λ, x2 = (log 3 + log 2)/λ におけるヘッセ行列は
H[Φ] =
7/6 -1/6
-1/6 1/6
となる。
固有値を求めると (4±√10)/6 で、ふたつとも正だから、
Φ((log 3 - log 2)/λ, (log 3 + log 2)/λ) は極小である。
連続関数は、極小値または境界値が下限となるが、
今回の Φ(x1,x2) は極小が唯一の停留点なので、極小値=最小値 としてよい。
お礼
ありがとうございます。 非常にわかりやすい誘導でした。 積分してΦを導出するのが非常にきついと感じました。 2)で微分積分学の基本定理の基本定理を使おうと試みましたが実力不足でできませんでした。 ここはごり押すしかないのでしょうか? わかる方いらっしゃいましたら返答をおねがいします。