微分積分の応用問題です。

質問

微分積分の応用問題です。
できる方よろしくお願いします。

一次元上の都市を区間[a,b]で与え、人口密度をp＝p(u)とする。(a≦u≦b)
同一種類の2つの施設を、位置x1並びにx2に設けたい(a≦x1<x2≦b)。人々は2つの施設のうち自分の居場所から見て近い方を選んで訪問する。以下の問に答えよ。
1)すべての住民が一度ずつ施設を訪れるときの総距離Φ(x1,x2)を定式化せよ。
2)総距離Φ(x1,x2)を最小化するための一階の条件を求め、その意味するところを「人口分布」という用語を用いて記せ。
3)人口密度を具体的にp(u)=exp(-λu)（0≦u<+∞)と与える(λは正の定数)。この時一回の条件を満たす解(x1*,x2*)を陽に導出せよ。
4)3)の(x1*,x2*)に対応するヘッセ行列に基づいて最適性の吟味を行いなさい。

1)はa→x1,x1→(x1+x2)/2,(x1+x2)/2→x2,x2→bに分けて積分し答えはx1^2+x2^2-(x1+x2)^2/4-ax1-bx2+(a^2+b^2)/2
でよろしいでしょうか？
陽に導出というのがよくわからず検索してもあまり引っかかりません。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

1)　それだと、p(u) を考慮してないでしょう？
Φ(x1,x2) = ∫[a,c] |u-x1| du + ∫[c,b] |u-x2| du,
c = (x1+x2)/2
じゃなく、
Φ(x1,x2) = ∫[a,c] |u-x1| p(u) du + ∫[c,b] |u-x2| p(u) du
でないと。

2)　上記の事情で、p が決まらないと Φ も具体的には決まりません。
でも、Φ(x1,x2) が最小となる必要条件の一つとして、
(∂/∂x1) Φ(x1,x2) = (∂/∂x2) Φ(x1,x2) = 0　←[*]
は挙げられますよね。 [*] に 1) を使って、
Φ の式を p の式に書き換えれば、何か言えるんじゃないかな。

3)　これは、2) に p(u) = exp(-λu) を代入して、
[*] の解 x1, x2 を求めよ」という意味です。
「陽に」というのは、x1 = … , x2 = … の形で書き下せということ。

4)　3) で求めたのは、Φ(x1,x2) の臨界点の座標です。
臨界点が極値であるかどうかは、そこでのヘッセ行列が定値行列かどうか
で判定します。更に、極小値が最小値かどうかの吟味も要りますね。
参考：　http://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/kiyono/12_6-08.pdf

お礼

ありがとうございます。
非常にわかりやすい誘導でした。

積分してΦを導出するのが非常にきついと感じました。
2)で微分積分学の基本定理の基本定理を使おうと試みましたが実力不足でできませんでした。
ここはごり押すしかないのでしょうか？
わかる方いらっしゃいましたら返答をおねがいします。

回答No.2

alice_44

ヒントだけ書いたのは、貴方自身に解いて欲しかったからなのですが…
残念だけど、解答も書いときます。 基本的に、ゴリ押しです。

1)
先述の答えで終わり。p(u) が何だか決まらないと、式変形はできない。

2)
Φ(x1,x2) = ∫[a,x1](x1-u)p(u)du + ∫[x1,c](u-x1)p(u)du + ∫[c,x2](x2-u)p(u)du + ∫[x2,b](u-x2)p(u)du
を x1 で微分して、
(∂/∂x1)∫[a,x1](x1-u)p(u)du = (x1-x1)p(x1) + ∫[a,x1]p(u)du,
(∂/∂x1)∫[x1,c](u-x1)p(u)du = -(x1-x1)p(x1) + (1/2)(c-x1)p(c) - ∫[x1,c]p(u)du,
(∂/∂x1)∫[c,x2](x2-u)p(u)du = -(1/2)(x2-c)p(c),
(∂/∂x1)∫[x2,b](u-x2)p(u)du = 0
より、
(∂/∂x1)Φ(x1,x2) = ∫[a,x1]p(u)du - ∫[x1,c]p(u)du.

この微分を行うには、合成関数の微分法を使った。(式中に何回も x1 が出てくるため。)
多変数関数 f(x,y) に対して、(d/dz)f(x,y) = (∂f(x,y)/∂x)(dx/dz) + (∂f(x,y)/∂y)(dy/dz)
なので、x = y = z のときは (d/dz)f(z,z) = fx(z,z) + fy(z,z) となる。
c = (x1 + x2)/2 であることを忘れずに、これを Φ(x1,x2) に適用すれば、
上記のように計算できる。

また、同様に、
(∂/∂x2)Φ(x1,x2) = ∫[c,x2]p(u)du - ∫[x2,b]p(u)du.

以上により、
(∂/∂x1)Φ(x1,x2) = (∂/∂x2)Φ(x1,x2) = 0 は
∫[a,x1]p(u)du = ∫[x1,c]p(u)du,　∫[c,x2]p(u)du = ∫[x2,b]p(u)du と書ける。

散文的に表現すると、
「両施設を利用する人口分布が、x1, x2 それぞれの a側と b側でつりあっていること」
とでも言えるかな？ 文章の良し悪しは別として、式としては、そういうこと。

3)
a = 0,　b → ∞,　p(u) = e^(-λu) であれば、2) の条件は
(-1/λ)e^(-λx1) - (-1/λ)1 = (-1/λ)e^(-λc) - (-1/λ)e^(-λx1),
(-1/λ)e^(-λx2) - (-1/λ)e^(-λc) = (-1/λ)0 - (-1/λ)e^(-λx2)
となる。
y1 = e^(-λx1 /2),　y2 = e^(-λx2 /2) と置いて整理すると、
2(y1)^2 - y1 y2 = 1,
2(y2)^2 - y1 y2 = 0.

y1 > 0,　y2 > 0 の下にこれを解くと
y2 = 1/√6,　y1 = 2/√6 となり、対数をとって
x1 = (log 3 - log 2)/λ,　x2 = (log 3 + log 2)/λ.

4)
Φ(x1,x2) の二次導関数は
(∂/∂x1)^2 Φ(x1,x2) = p(x1) - { (1/2)p(c) - p(x1) },
(∂/∂x2)^2 Φ(x1,x2) = { p(x2) - (1/2)p(c) } - { - p(x2) },
(∂/∂x1)(∂/∂x2) Φ(x1,x2) = - (1/2)p(c).
だから、
x1 = (log 3 - log 2)/λ,　x2 = (log 3 + log 2)/λ におけるヘッセ行列は

H[Φ] =
　　　　7/6　　　　-1/6
　　　　-1/6　　　　1/6
となる。
固有値を求めると (4±√10)/6 で、ふたつとも正だから、
Φ((log 3 - log 2)/λ, (log 3 + log 2)/λ) は極小である。

連続関数は、極小値または境界値が下限となるが、
今回の Φ(x1,x2) は極小が唯一の停留点なので、極小値＝最小値 としてよい。

お礼

ありがとうございます。
2)をゴリ押しで解こうと試みましたができず、3)で実際の値を代入するなどして突破しようと試みましたが厳しかったです。
計算の手間を省く方法まで教えていただいてとても助かりました。