多価な定数

質問

対数関数logの多価性に関して以下の質問させていただきます。

対数関数logを複素数の範囲で考えると多価になりますよね。
（対数関数の主値をLog(z)と書き、主値の変数zの偏角(Θとおく)の範囲を
　-π<Θ<πとおけば、log(z)=Log(z)+2nπi（nは任意の整数））

となれば、単純に考えれば、例えばlog(-1)やlog(i)といったもの、
もっと言えば、任意の複素数定数z0の対数値log(z0)も多価になる
かと思います。
（log(-1)=(2n+1)πi、log(i)=(2n+1/2)πi、等（nは任意の整数））
これらは、多価関数ならぬ、いわば多価定数と言えるかと思います。
このような多価な定数というものは、複素関数論の教科書の類を読んだ
範囲では目にしたことがありません。

そこで、以下の２点を質問させていただきます。
　　・そもそも上記の多価な定数という考え方、log(-1)等の導出に
　　　誤りが無いか。
　　・誤りが無い場合、多価な定数、およびその応用等について言及した
　　　文献は存在するか。

以上です。宜しくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

>そもそも上記の多価な定数という考え方、log(-1)等の導出に
　　　誤りが無いか。

そもそもの「多価な定数という考え方」そのものに
意味がありません．
単に条件を満たす値が複数存在するということと
なんら違いはありません．

「多価関数」とわざわざいわれるのは
関数は通常は値は一個と定められているけども
この制限をゆるめて複数も許容することで
理論の展開があるからです．
関数の拡張であることが意味があるのであって，
ここの値に対する関数値そのものにはあまり意味がないのです
（ただし，関数値の個数の変遷は重要です）．

お礼

ご回答、指摘ありがとうございました。
数学（代数学、関数論）の基本中の基本に立ち返って考えてみれば、
おっしゃる通りですね。
意味があるか無いかと言われれば、確かに無意味だと思いました。
大変勉強になりました。