複素数の対数の「無限多価性」が疑問です。

質問

複素数の対数は無限多価性があると言います。
が、
e＾（i＊θ）= cosθ＋i＊sinθ 　ならば、
log[e] ｛c＊(cosθ＋i＊sinθ）} = log[e]c ＋ i＊θ 　ですので、
c と θ が一意的に定まっている場合、右辺は１価関数ですので、複素数は全て、対数は１価関数になるのでは有りませんか。どこが推論が間違っていますのでしょうか。

回答No.1

noname#232123 · ベストアンサー

どの教科書にもあることですが・・・、
w=log(z) ⇔ z=e^w.
ここで、w=u+i*v とおくと、
z=e^(u+i*v)=e^u*e^(i*v).
∴ |z|=e^u, arg(z)=v.
よって、w=log(z)=ln|z|+i*arg(z).
したがって、log(z)はz≠0において定義された「無限多価関数」となり、その値の１つをw0とすると他の値は、w0+2kpi*i (kは整数)
ということになります。
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e^(i*θ)=cosθ+i*sinθ=cos(θ+2pi)+i*sin(θ+2pi)=.... です。

お礼

御丁寧な御回答を誠に有難う御座いました。

補足

最後の式の括弧内の、θ+2pi の　i も虚数単位の　i ですか。