第二次導関数について

質問

第二次導関数においての極値の求め方がよくわかりません。

例えばですが
f(x)=x^3-3x^2+4
f'(x)=3x^2-6x
f''(x)=6x-6

この時の極小値と極大値は1と2で合っていますか？

詳しく求め方を説明してくれるとありがたいです。

回答No.1

sanori · ベストアンサー

第二次導関数は、元の関数（いわば第ゼロ次導関数）のグラフが上に凸か下に凸かを判定するのに使います。

ｆ’（ｘ）＝　３ｘ^2－６ｘ　＝　３ｘ（ｘ－２）
ｆ’（ｘ）＝　０　となるのは、ｘ＝０とｘ＝２なので、
元の関数ｆ（ｘ）は、ｘ＝０とｘ＝２で極値をとります。

ここで
ｆ”（ｘ）＝　６（ｘ－１）

ｆ”（０）＝　６（０－１）　＝　－６　＜　０
よって、ｘ＝０の地点は上に凸。
ということは、ｆ（０）＝　０＋０＋４　＝　４　は極大値。

ｆ”（２）＝　６（２－１）　＝　６　＞　０
よって、ｘ＝１の地点は下に凸。
ということは、ｆ（２）＝　８－１２＋４　＝　０　は極小値。

まとめ
ｆ（ｘ）は、（０，４）で極大、（２，０）で極小。

お礼

ありがとうございました。参考になりました。