直線性の求め方

質問

数値Xと数値Yと乗数Kとして、Y=KXのとき、
数値の組数をnとしたとき、
ΣΔ^2=Σ(logeYi-logeXi-logeK)^2が
最小になるようなKは、どのように求めればいいか
誰か教えてください。

回答No.3

noname#70519 · ベストアンサー

失礼！
最後の方を以下のように訂正します。
n・logeK=Σ{loge(Yi/Xi)}　より
loge(K^n)=Σ{loge(Yi/Xi)}
K^n=Π(Yi/Xi)

∴　K={Π(Yi/Xi)}^(1/n)　となります。

回答No.2

noname#70519

Y=KX でフィッティングさせる時、普通は対数を使わずに
ΣΔ^2=Σ(Yi-K・Xi)^2 を最小にするような K を求めます。

よく行われる一次式、Y=KX+L へのフィッティングなら、
残差平方和、ΣΔ^2=Σ{Yi-(K・Xi+L)}^2 の K, L での偏微分
∂ΣΔ^2/∂K=2・Σ[{Yi-(K・Xi+L)}・(-Xi)]=0
∂ΣΔ^2/∂L=2・Σ[{Yi-(K・Xi+L)}・(-1)]=0
から
K・Σ(Xi^2)+L・Σ(Xi)=Σ(Xi・Yi)
K・Σ(Xi) +L・n =Σ(Yi)
という連立方程式を作り、K, L を求めています。

今おたずねの、ΣΔ^2=Σ(logeYi-logeXi-logeK)^2　の場合であれば
∂ΣΔ^2/∂K=2・Σ[{logeYi-logeXi-logeK}・(-1/K)]=0
つまり、n・Σ(logeK)=Σ{loge(Yi/Xi)}
更に、K=(Yi/Xi)^(1/n)　となります。

回答No.1

arrysthmia

二次関数の問題です。
その Σ Δ^2 は、log K の二次関数で表されていますから、
最小にするような log K の値を、Xi と Yi を含む式で表す
ことができますね。後は、K = e^(log K) で K を出すだけ。