2次関数のグラフと直線

質問

次の条件を満たす実数kの値の範囲の求め方を教えてください。

放物線　y=ー X2＋　ｋｘ－（ｋ－１）　がつねに y=-2x+3の下方にある場合　
　　　　　(ーｘの２乗）

回答No.1

taropoo · ベストアンサー

常に下方にあるって事は交点を持たないって事です。
交点を求める時、yを消去してxの２次関数にして解きますよね。
解けちゃったらそのxを直線の式に代入すればyも求まり、即ち交点があるって事になります。
それだと困るのでxの２次関数が解けちゃ嫌。つまり実数解を持たなければいいんです。
yを消去して
-x^2 + kx - (k - 1) = -2x + 3
x^2 - (k + 2)x + k + 2 = 0
これが実数解を持たないためには
(k + 2)^2 - 4(k+2) < 0
k^2 -4 < 0
(k + 2)(k - 2) < 0
ゆえに
-2 < k < 2

計算ミスあったらごめんなさい。

お礼

ありがとうございました。じつは息子に聞かれた問題だったのですが、さっぱりわからなくて困っていました。息子にこの解答を見せたらよくわかったと喜んでいました。インターネットをはじめて１週間目、初めての質問でした。またよろしくお願いいたします。

回答No.2

rei00

taropoo さんの充分な回答がありますが，私は次の様に考えました。

「y=ー X2＋　ｋｘ－（ｋ－１）　がつねに y=-2x+3の下方にある」という事は，-X2 + kX -(k-1) < -2X + 3 が常に成り立つということです。

この不等式を整理すると，X2 - (k+2)X + (k+2) > 0 となります。

左辺を整理すると，[X - (1/2)(k+2)]2 - (1/4)(k+2)2 + k + 2 > 0 となります。

ここで，[X - (1/2)(k+2)]2 は常にゼロ又は正ですから，この式が成り立つためには，- (1/4)(k+2)2 + k + 2 > 0 が成り立つ必要があります。

これを整理すると，(k + 2)(k - 2) < 0 が得られ，taropoo さんと同じ答えが得られます。

お礼

ありがとうございます。高３の息子から聞かれた問題なのですが私にはさっぱりわかりませんでした。rei00さんやtaropooさんの解答、大変よくわかったそうです。
息子は今時の学生には珍しくパソコンがまったくできません。大学受験が終わったらゆっくりパソコンをはじめるそうですが、それまでは私、mechaが息子に代わって質問を投稿しますのでまたよろしくお願いいたします。